火车转弯时需要较大的向心力，如果两条铁轨都在同一水平面内(内、外轨等高)，这个向心力只能由外轨提供，也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力，这是很危险的。因此，对应于火车的速率及转弯处的曲率半径，必须使外轨适当地高出内轨，称为外轨超高。现有一质量为m的火车，以速率v沿半径为R的圆弧轨道转弯，已知路面倾角为theta 。试求：(1)在此条件下，火车速率(v)_(0)为多大时，才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？(2)如果火车的速率vne (v)_(0)，则车轮对铁轨的侧压力为多少？
火车转弯时需要较大的向心力，如果两条铁轨都在同一水平面内(内、外轨等高)，这个向心力只能由外轨提供，也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力，这是很危险的。因此，对应于火车的速率及转弯处的曲率半径，必须使外轨适当地高出内轨，称为外轨超高。现有一质量为m的火车，以速率v沿半径为R的圆弧轨道转弯，已知路面倾角为$\theta $。试求：
(1)在此条件下，火车速率${v}_{0}$为多大时，才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？
(2)如果火车的速率$v\ne {v}_{0}$，则车轮对铁轨的侧压力为多少？
题目解答
答案
【答案】
(1)$\sqrt{gR\tan \theta }$；(2)当$v\gt {v}_{0}$时，$m\left(\dfrac{{v}^{2}}{R}\cos \theta -g\sin \theta \right)$；当$v\lt {v}_{0}$时，$m\left(g\sin \theta -\dfrac{{v}^{2}}{R}\cos \theta \right)$
【解析】
(1)建立如图所示的坐标系，由牛顿第二定律得：${F}_{N}sin\theta =m\dfrac{{v}^{2}}{R}$，${F}_{N}cos\theta -mg=0$，则火车转弯时的规定速率为：${v}_{0}=\sqrt{gR\tan \theta }$；
(2)当$v\gt {v}_{0}$时，有：${F}_{N}sin\theta +{F}_{1}cos\theta =m\dfrac{{v}^{2}}{R}$，${F}_{N}cos\theta -{F}_{1}sin\theta -mg=0$，解得，外轨的侧压力为：${F}_{1}=m\left(\dfrac{{v}^{2}}{R}\cos \theta -g\sin \theta \right)$；当$v\lt {v}_{0}$时，有：${F}_{N}sin\theta -{F}_{2}cos\theta =m\dfrac{{v}^{2}}{R}$，${F}_{N}cos\theta +{F}_{2}sin\theta -mg=0$，解得，内轨的侧压力为：${F}_{2}=m\left(g\sin \theta -\dfrac{{v}^{2}}{R}\cos \theta \right)$。
解析
火车在转弯时受到重力$mg$、轨道对火车的支持力${F}_{N}$以及可能存在的侧压力${F}_{1}$或${F}_{2}$。当火车以速率${v}_{0}$转弯时，车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零，此时火车仅受重力和轨道的支持力作用。
步骤 2：建立坐标系并列出牛顿第二定律方程
建立如图所示的坐标系，其中x轴沿轨道切线方向，y轴垂直于轨道。根据牛顿第二定律，火车在x方向上的合外力提供向心力，y方向上的合外力为零。因此，有：
${F}_{N}sin\theta =m\dfrac{{v}^{2}}{R}$，${F}_{N}cos\theta -mg=0$。
步骤 3：求解火车转弯时的规定速率${v}_{0}$
由上述方程可得火车转弯时的规定速率为：${v}_{0}=\sqrt{gR\tan \theta }$。
步骤 4：分析火车速率$v\ne {v}_{0}$时的侧压力
当火车的速率$v\ne {v}_{0}$时，火车将受到轨道的侧压力。具体来说，当$v\gt {v}_{0}$时，外轨受到侧压力${F}_{1}$；当$v\lt {v}_{0}$时，内轨受到侧压力${F}_{2}$。根据牛顿第二定律，可以列出相应的方程并求解侧压力的大小。