20 甲比 (3分)-|||-由曲线 rho =3 与曲线 rho =2(1+cos varphi ) 所围成的图形的公共部分面积大小为-|||-○ A. pi -dfrac (9sqrt {3)}(2) m-|||-○ B.-|||-pi -dfrac (7sqrt {3)}(2)-|||-○ C. pi -dfrac (9sqrt {3)}(2)-|||-○D-|||-pi -dfrac (7sqrt {3)}(2)

本题考查极坐标下图形面积的计算，解题思路是先求出两曲线的交点，确定积分区间，然后根据图形的对称性，将所求公共部分面积表示为两部分面积之和，分别计算这两部分面积后相加得到最终结果。

步骤一：求两曲线的交点

联立两曲线方程$\begin{cases}\rho = 3\\\rho = 2(1 + \cos\varphi )\end{cases}$，可得$3 = 2(1 + \cos\varphi )$，
解方程$3 = 2(1 + \cos\varphi )$：
$\begin{align*}3&=2 + 2\cos\varphi\\2\cos\varphi&=1\\\cos\varphi&=\frac{1}{2}\end{align*}$
解得$\varphi = \pm\frac{\pi}{3}$。

步骤二：分析图形并确定面积计算方式

由于图形关于极轴对称，所以所求公共部分面积$S$是$x$轴上方部分面积的$2$倍。
$x$轴上方部分面积由两部分组成：

• 一部分是$\rho = 3$在$[0,\frac{\pi}{3}]$上的扇形面积$S_1$。
• 另一部分是$\rho = 2(1 + \cos\varphi )$在$[\frac{\pi}{3},\pi]$上的面积$S_2$。

步骤三：计算$S_1$

根据极坐标下扇形面积公式$S=\frac{1}{2}\alpha\rho^2$（其中$\alpha$为圆心角，$\rho$为半径），对于$\rho = 3$在$[0,\frac{\pi}{3}]$上的扇形，$\alpha = \frac{\pi}{3}$，$\rho = 3$，则：
$S_1=\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{3}\times3^2=\frac{3\pi}{2}$

步骤四：计算$S_2$

根据极坐标下图形面积公式$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^2(\varphi)d\varphi$，对于$\rho = 2(1 + \cos\varphi )$在$[\frac{\pi}{3},\pi]$上的面积，有：
$\begin{align*}S_2&=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}[2(1 + \cos\varphi )]^2d\varphi\\&=2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}(1 + 2\cos\varphi + \cos^2\varphi )d\varphi\\&=2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}(1 + 2\cos\varphi + \frac{1 + \cos2\varphi}{2})d\varphi\\&=2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}(\frac{3}{2} + 2\cos\varphi + \frac{\cos2\varphi}{2})d\varphi\\&=2\left[\frac{3}{2}\varphi + 2\sin\varphi + \frac{1}{4}\sin2\varphi\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}\\&=2\left[\left(\frac{3}{2}\pi + 0 + 0\right) - \left(\frac{3}{2}\times\frac{\pi}{3} + 2\times\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\\&=2\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\\&=2\left(\pi - \frac{5\sqrt{3}}{4}\right)\\&=2\pi - \frac{5\sqrt{3}}{2}\end{align*}$

步骤五：计算总面积$S$

$S = 2(S_1 + S_2)=2\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi - \frac{5\sqrt{3}}{2}\right)=5\pi - \frac{7\sqrt{3}}{2}$