【变式1.53.3】(2021数三18)求函数f(x,y)=2ln|x|+((x-1)^2+y^2)/(2x^2)的极值.

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶导数检验法的应用，以及极值的计算。

解题核心思路：

1. 求驻点：通过求偏导数并解方程组，找到可能的极值点。
2. 二阶导数检验：利用二阶偏导数构造Hessian矩阵，判断驻点是否为极值点及其类型。
3. 计算极值：将驻点代入原函数计算极值。

破题关键点：

• 正确求偏导数，尤其是处理分式函数时需注意分母不为零。
• 联立方程求解驻点时，注意变量的取值范围。
• 二阶导数检验中，Hessian矩阵的行列式和二阶偏导符号的判断。

求驻点

1. 求一阶偏导数：

   • 对$y$求偏导：
     $f_y' = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\ln|x| + \frac{(x-1)^2 + y^2}{2x^2} \right) = \frac{y}{x^2}$
   • 对$x$求偏导：
     $f_x' = \frac{2}{x} + \frac{(2(x-1))(2x^2) - (x-1)^2(4x) - y^2(4x)}{(2x^2)^2} = \frac{2x^2 + x - 1 - y^2}{x^3}$

2. 解方程组：

   • 令$f_y' = 0$，得$y = 0$。
   • 代入$f_x' = 0$，解得$x = -1$或$x = \frac{1}{2}$。
   • 驻点为$(-1, 0)$和$\left( \frac{1}{2}, 0 \right)$。

二阶导数检验

1. 计算二阶偏导数：

   • $f_{xx} = \frac{3(2x^2 + x - 1) - (2x^2 + x - 1 - y^2) \cdot 3x}{x^6}$（在驻点处化简后为正值）
   • $f_{xy} = -\frac{2y}{x^3}$（在$y=0$时为0）
   • $f_{yy} = \frac{1}{x^2}$

2. 判断极值类型：

   • Hessian矩阵行列式：$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 > 0$，且$f_{xx} > 0$，故均为极小值点。

计算极值

1. 代入驻点：
   • $f(-1, 0) = 2\ln 1 + \frac{(-2)^2}{2 \cdot 1} = 2$
   • $f\left( \frac{1}{2}, 0 \right) = 2\ln \frac{1}{2} + \frac{\left( -\frac{1}{2} \right)^2}{2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{2} - 2\ln 2$