若矩阵可逆，则以下选项中正确的是（ ）ABCD

考查要点：本题主要考查可逆矩阵的性质及其相关运算，包括标量乘法的逆矩阵、行列式的性质、伴随矩阵的性质等。

解题核心思路：

1. 选项A：利用标量乘法的逆矩阵公式，判断是否正确。
2. 选项B：根据行列式的性质，验证逆矩阵的行列式是否等于原矩阵行列式的倒数。
3. 选项C：结合矩阵的逆与伴随矩阵的关系，判断表达式是否成立。
4. 选项D：通过伴随矩阵的行列式公式，推导正确形式。

破题关键点：

• 选项B的关键在于行列式的性质：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。
• 选项D需利用伴随矩阵与原矩阵的关系：$A A^* = |A|I$，进而推导行列式。

选项A分析

根据标量乘法的逆矩阵公式，若矩阵$A$可逆且$\mu \neq 0$，则：
$(\mu A)^{-1} = \frac{1}{\mu} A^{-1}$
但选项A中写为$\mu A^{-1}$，缺少$\frac{1}{\mu}$因子，因此选项A错误。

选项B分析

行列式的性质表明，若$A$可逆，则：
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
此公式直接成立，因此选项B正确。

选项C分析

矩阵的逆公式为：
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$
而选项C中写为$\frac{|A|}{A}$，混淆了标量与矩阵的运算，且未使用伴随矩阵$A^*$，因此选项C错误。

选项D分析

由伴随矩阵的性质$A A^* = |A|I$，两边取行列式得：
$|A| \cdot |A^*| = |A|^n$
解得：
$|A^*| = |A|^{n-1}$
但选项D中写为$|A|^n$，指数应为$n-1$而非$n$，因此选项D错误。