题目
0.一物体由静止开始以速度 (t)=dfrac (3t)(sqrt {t+1)} (米/秒)作直线运动,其中t表示-|||-运动的时间,求物体运动到8秒时离开出发点的距离.(8分)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体运动的距离
物体运动的距离可以通过速度函数 $v(t)$ 的积分来计算。给定的速度函数为 $v(t)=\dfrac {3t}{\sqrt {t+1}}$，我们需要计算从 $t=0$ 到 $t=8$ 的积分，即 ${\int }_{0}^{8}v(t)dt$。
步骤 2：进行变量替换
为了简化积分，我们进行变量替换。设 $a=\sqrt {t+1}$，则 $t=a^2-1$，且 $dt=2ada$。当 $t=0$ 时，$a=1$；当 $t=8$ 时，$a=3$。因此，原积分变为 ${\int }_{1}^{3}6({a}^{2}-1)da$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{1}^{3}6({a}^{2}-1)da$，得到 $6(\dfrac {{a}^{3}}{3}-a){{1}_{1}}^{3}$，即 $6(\dfrac {{3}^{3}}{3}-3)-6(\dfrac {{1}^{3}}{3}-1)$，计算结果为 $40$ 米。
物体运动的距离可以通过速度函数 $v(t)$ 的积分来计算。给定的速度函数为 $v(t)=\dfrac {3t}{\sqrt {t+1}}$，我们需要计算从 $t=0$ 到 $t=8$ 的积分，即 ${\int }_{0}^{8}v(t)dt$。
步骤 2：进行变量替换
为了简化积分，我们进行变量替换。设 $a=\sqrt {t+1}$，则 $t=a^2-1$，且 $dt=2ada$。当 $t=0$ 时，$a=1$；当 $t=8$ 时，$a=3$。因此，原积分变为 ${\int }_{1}^{3}6({a}^{2}-1)da$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{1}^{3}6({a}^{2}-1)da$，得到 $6(\dfrac {{a}^{3}}{3}-a){{1}_{1}}^{3}$，即 $6(\dfrac {{3}^{3}}{3}-3)-6(\dfrac {{1}^{3}}{3}-1)$，计算结果为 $40$ 米。