题目
设f（x）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=a,∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)求证：在（a，b）内至少有一点ξ,使得f'（ξ）=f(ξ)-ξ+1
设f（x）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=a,∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)
求证：在（a，b）内至少有一点ξ,使得f'（ξ）=f(ξ)-ξ+1
求证：在（a，b）内至少有一点ξ,使得f'（ξ）=f(ξ)-ξ+1
题目解答
答案
由∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)可知存在c>a，使得f(c)=c。否则，对任意的c>a，
有f(c)<c或者f(c)>c成立。令g(x)=f(x)-x，则g(x)在(a，b]上取值非零，有连续函数的介值性质知道g(x)是恒正或恒负函数，此时必有f(x)>x或f(x)<x恒成立，于是∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)，或∫(a,b)f(x)dx<∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)，与条件矛盾。
令F(x)=e^(-x)(f(x)-x)，则F(a)=F(c)=0，F'(x)=e^(-x)(f'(x)-f(x)+x-1)，由Rolle中值定理可得结果。
有f(c)<c或者f(c)>c成立。令g(x)=f(x)-x，则g(x)在(a，b]上取值非零，有连续函数的介值性质知道g(x)是恒正或恒负函数，此时必有f(x)>x或f(x)<x恒成立，于是∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)，或∫(a,b)f(x)dx<∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)，与条件矛盾。
令F(x)=e^(-x)(f(x)-x)，则F(a)=F(c)=0，F'(x)=e^(-x)(f'(x)-f(x)+x-1)，由Rolle中值定理可得结果。
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数g(x) = f(x) - x，根据题设条件，g(a) = f(a) - a = 0。我们需要证明在(a, b)内存在一点ξ，使得f'(ξ) = f(ξ) - ξ + 1，即g'(ξ) = g(ξ) + 1。
步骤 2：利用积分条件
由∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)，可以推导出∫(a,b)g(x)dx=0。因为∫(a,b)g(x)dx=∫(a,b)(f(x)-x)dx=∫(a,b)f(x)dx-∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)-1/2(b^2-a^2)=0。
步骤 3：应用Rolle中值定理
由于g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且g(a) = g(b) = 0，根据Rolle中值定理，存在ξ ∈ (a, b)，使得g'(ξ) = 0。即f'(ξ) - 1 = 0，即f'(ξ) = f(ξ) - ξ + 1。
构造辅助函数g(x) = f(x) - x，根据题设条件，g(a) = f(a) - a = 0。我们需要证明在(a, b)内存在一点ξ，使得f'(ξ) = f(ξ) - ξ + 1，即g'(ξ) = g(ξ) + 1。
步骤 2：利用积分条件
由∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)，可以推导出∫(a,b)g(x)dx=0。因为∫(a,b)g(x)dx=∫(a,b)(f(x)-x)dx=∫(a,b)f(x)dx-∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)-1/2(b^2-a^2)=0。
步骤 3：应用Rolle中值定理
由于g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且g(a) = g(b) = 0，根据Rolle中值定理，存在ξ ∈ (a, b)，使得g'(ξ) = 0。即f'(ξ) - 1 = 0，即f'(ξ) = f(ξ) - ξ + 1。