题目
如图，一半径为 R 的圆线圈，可绕与直径重合且与 B 垂直的AA'轴转动，线圈中通有电流I，放在匀强磁场B 中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受的对AA'轴的力矩为:A.0B.pi (R)^2BIC.pi (R)^2BID.pi (R)^2BIpi (R)^2BI
如图，一半径为 R 的圆线圈，可绕与直径重合且与 B 垂直的AA'轴转动，线圈中通有电流I，放在匀强磁场B 中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受的对AA'轴的力矩为:
A.0
B.
C.
D.
题目解答
答案
首先，根据洛伦兹力的定义，线圈上的每个载流线元都受到一个洛伦兹力，其大小与线元长度、电流和磁场之间的关系为：
，
其中dF表示线元受到的力，I表示线圈电流，dl表示线元长度，B表示磁场。
其次，根据力矩的定义，我们知道力矩可以表示为受力点到转动轴的距离与力的乘积，即：
，
其中τ表示力矩，r表示受力点到转动轴的距离，F表示力的大小。
对于线圈受到的对AA’轴的力矩，由于线圈上的每个线元受到的力都垂直于AA’轴，因此线圈所受的总力矩可以表示为每个线元力矩的代数和，即：
，
其中∑表示对所有线元力矩的求和。
考虑到线圈的几何特征，我们可以将每个线元的长度dl和受力点到转动轴的距离r之间建立关系，即：
，
其中R表示线圈的半径，dθ表示线元所对应的角度变化。
将上述关系代入总力矩表达式中，得到：
，
对所有线元力矩进行求和，再利用线圈上各处磁场的大小和方向相同，可得：
。
化简上述表达式得到：
，
由于∫θ=0→2π dθ = 2π，代入上式得到：
。
综上所述，线圈所受的对AA’轴的力矩为2πRIB。因此，答案选项为C. 2πRBI。
解析
步骤 1：确定洛伦兹力
线圈中的每个载流线元都受到一个洛伦兹力，其大小与线元长度、电流和磁场之间的关系为：
$dF=I\cdot dI\cdot B$，
其中dF表示线元受到的力，I表示线圈电流，dl表示线元长度，B表示磁场。
步骤 2：确定力矩
根据力矩的定义，力矩可以表示为受力点到转动轴的距离与力的乘积，即：
$T=r\times F'$，
其中τ表示力矩，r表示受力点到转动轴的距离，F表示力的大小。
步骤 3：计算总力矩
对于线圈受到的对AA’轴的力矩，由于线圈上的每个线元受到的力都垂直于AA’轴，因此线圈所受的总力矩可以表示为每个线元力矩的代数和，即：
$Ttot=d(r\times {t}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (\quad )\quad {(\quad )}^$，
其中∑表示对所有线元力矩的求和。
步骤 4：建立线元长度和受力点到转动轴距离的关系
考虑到线圈的几何特征，我们可以将每个线元的长度dl和受力点到转动轴的距离r之间建立关系，即：
$dl=Rd\theta $，
其中R表示线圈的半径，dθ表示线元所对应的角度变化。
步骤 5：代入总力矩表达式
将上述关系代入总力矩表达式中，得到：
$Ttotd=2(Rd\theta \times dF)$，
对所有线元力矩进行求和，再利用线圈上各处磁场的大小和方向相同，可得：
$Ttotal=R{\int }_{0}^{2\pi }\theta =(d\theta \times I\times B)$。
步骤 6：化简表达式
化简上述表达式得到：
Ttotal=RIB θ=dθ，
由于∫θ=0→2π dθ = 2π，代入上式得到：
$Ttotal=2\pi RIB$。
线圈中的每个载流线元都受到一个洛伦兹力，其大小与线元长度、电流和磁场之间的关系为：
$dF=I\cdot dI\cdot B$，
其中dF表示线元受到的力，I表示线圈电流，dl表示线元长度，B表示磁场。
步骤 2：确定力矩
根据力矩的定义，力矩可以表示为受力点到转动轴的距离与力的乘积，即：
$T=r\times F'$，
其中τ表示力矩，r表示受力点到转动轴的距离，F表示力的大小。
步骤 3：计算总力矩
对于线圈受到的对AA’轴的力矩，由于线圈上的每个线元受到的力都垂直于AA’轴，因此线圈所受的总力矩可以表示为每个线元力矩的代数和，即：
$Ttot=d(r\times {t}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (2\times {2}^{2})\quad (\quad )\quad {(\quad )}^$，
其中∑表示对所有线元力矩的求和。
步骤 4：建立线元长度和受力点到转动轴距离的关系
考虑到线圈的几何特征，我们可以将每个线元的长度dl和受力点到转动轴的距离r之间建立关系，即：
$dl=Rd\theta $，
其中R表示线圈的半径，dθ表示线元所对应的角度变化。
步骤 5：代入总力矩表达式
将上述关系代入总力矩表达式中，得到：
$Ttotd=2(Rd\theta \times dF)$，
对所有线元力矩进行求和，再利用线圈上各处磁场的大小和方向相同，可得：
$Ttotal=R{\int }_{0}^{2\pi }\theta =(d\theta \times I\times B)$。
步骤 6：化简表达式
化简上述表达式得到：
Ttotal=RIB θ=dθ，
由于∫θ=0→2π dθ = 2π，代入上式得到：
$Ttotal=2\pi RIB$。