曲线 =dfrac ({x)^2+x}({x)^2-1} 的渐近线的条数有

考查要点：本题主要考查有理函数的渐近线求解，包括垂直渐近线、水平渐近线的判断方法。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：分母为零且分子不为零的点。
2. 水平渐近线：当分子次数等于分母次数时，水平渐近线为分子、分母最高次项系数之比。
3. 斜渐近线：分子次数比分母高1时存在，本题分子次数等于分母次数，故不存在。

破题关键点：

• 分解分母：找到分母为零的点，判断是否为垂直渐近线。
• 化简分式：检查分母为零时分子是否为零，排除可去间断点。
• 次数比较：确定水平渐近线的存在性。

1. 垂直渐近线

分母 $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，解得 $x=1$ 和 $x=-1$。

• 当 $x=1$ 时：分子 $1^2 + 1 = 2 \neq 0$，故 $x=1$ 是垂直渐近线。
• 当 $x=-1$ 时：分子 $(-1)^2 + (-1) = 0$，分母也为0，需进一步分析：
  • 分子因式分解为 $x(x+1)$，分母为 $(x-1)(x+1)$，约分后得 $\dfrac{x}{x-1}$（$x \neq -1$）。
  • $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x}{x-1} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$，说明 $x=-1$ 是可去间断点，不是垂直渐近线。

结论：垂直渐近线只有 $x=1$。

2. 水平渐近线

分子和分母均为二次多项式，最高次项系数均为1，故水平渐近线为：
$y = \dfrac{1}{1} = 1$

3. 斜渐近线

分子次数等于分母次数，故不存在斜渐近线。

总渐近线条数：垂直渐近线1条，水平渐近线1条，共2条。