设随机变量X的概率密度为φ(x),且 varphi (-x)=varphi (x). F(x)-|||-为X的分布函数,则对任意实数a,有-|||-(A) (-a)=1-(int )_(0)^avarphi (x)dx. (B) (-a)=dfrac (1)(2)-(int )_(0)^avarphi (x)dx-|||-(C) F(-a)=F(a) (D) F(-a)=2F(a)-1A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查对称概率密度函数的分布函数性质，以及积分变换的应用。

解题核心思路：

1. 对称性分析：概率密度函数$\varphi(x)$为偶函数，即$\varphi(-x) = \varphi(x)$，说明随机变量$X$关于$0$对称。
2. 分布函数拆分：利用对称性，将分布函数$F(a)$拆分为对称区间上的积分之和。
3. 积分变换：通过变量代换，将$F(-a)$的积分转化为与$F(a)$相关的形式，结合对称性推导结果。

破题关键点：

• 对称性导致$\int_{-\infty}^0 \varphi(x)dx = \frac{1}{2}$，这是拆分分布函数的基础。
• 利用$F(-a) = 1 - F(a)$的关系，结合拆分后的表达式，最终得到选项B。

步骤1：拆分分布函数$F(a)$

由于$\varphi(x)$是偶函数，积分区间$(-\infty, a]$可拆分为$(-\infty, 0]$和$(0, a]$：
$F(a) = \int_{-\infty}^a \varphi(x)dx = \int_{-\infty}^0 \varphi(x)dx + \int_0^a \varphi(x)dx.$
对称性可知$\int_{-\infty}^0 \varphi(x)dx = \frac{1}{2}$，因此：
$F(a) = \frac{1}{2} + \int_0^a \varphi(x)dx.$

步骤2：计算$F(-a)$

同理，$F(-a)$可拆分为：
$F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} \varphi(x)dx.$
变量代换：令$x = -t$，则积分变为：
$F(-a) = \int_{+\infty}^a \varphi(-t)(-dt) = \int_a^{+\infty} \varphi(t)dt.$
根据概率密度函数的归一性，$\int_a^{+\infty} \varphi(t)dt = 1 - \int_{-\infty}^a \varphi(t)dt = 1 - F(a)$，因此：
$F(-a) = 1 - F(a).$

步骤3：联立求解

将步骤1中$F(a) = \frac{1}{2} + \int_0^a \varphi(x)dx$代入步骤2的结果：
$F(-a) = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_0^a \varphi(x)dx \right) = \frac{1}{2} - \int_0^a \varphi(x)dx.$
因此，选项B正确。