题目
3. ln (-1) 的值是 __-|||-(A)2kπi, in Z-|||-(B) dfrac (pi )(2)i-|||-(C) πi-|||-(D) (2k+1)pi i,kin Z
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查复变函数中自然对数的多值性，特别是复数$-1$的自然对数的计算。
解题核心思路：
- 复数的极坐标形式：将$-1$表示为极坐标形式$e^{i\theta}$，确定其模长和辐角。
- 自然对数的多值性：利用复数对数的公式$\ln(z) = \ln|z| + i(\theta + 2k\pi)$，其中$k \in \mathbb{Z}$，并代入$-1$的具体参数。
- 选项匹配：通过计算结果与选项对比，确定正确答案。
破题关键点：
- 模长和辐角的确定：$-1$的模长为$1$，辐角主值为$\pi$，但需考虑所有可能的辐角形式$\pi + 2k\pi$。
- 多值性的体现：复数对数的结果包含无限多个值，需通过整数$k$表示。
-
将$-1$表示为极坐标形式
复数$-1$在复平面上对应点$(-1, 0)$，其模长为：
$| -1 | = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$
辐角主值为$\pi$，因此可以表示为：
$-1 = e^{i(\pi + 2k\pi)} \quad (k \in \mathbb{Z})$ -
计算自然对数
根据复数对数的公式：
$\ln(-1) = \ln| -1 | + i(\pi + 2k\pi)$
由于$| -1 | = 1$，$\ln 1 = 0$，因此：
$\ln(-1) = i(\pi + 2k\pi) = (2k + 1)\pi i \quad (k \in \mathbb{Z})$ -
选项匹配
选项D为$(2k + 1)\pi i \quad (k \in \mathbb{Z})$，与计算结果完全一致。