题目
12.设f(x)连续, (t)=iint int [ (t)^2+f((x)^2+(y)^2)] dxdydz Omega :0leqslant zleqslant h ^2+-|||-^2leqslant (t)^2, 求F`(t).
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，积分区域$\Omega$在极坐标系下表示为$0 \leq r \leq t$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq z \leq h$。
步骤 2：计算积分
将原积分转换为极坐标系下的形式，得到：
$$F(t) = \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{t} [r^2\cos^2\theta + f(r^2)]rdr$$
$$= 2\pi h \int_{0}^{t} [r^3\cos^2\theta + rf(r^2)]dr$$
由于$\cos^2\theta$在$0$到$2\pi$的积分是$\pi$，所以：
$$F(t) = 2\pi h \int_{0}^{t} [r^3\pi/2 + rf(r^2)]dr$$
$$= \pi h \int_{0}^{t} [r^3 + 2rf(r^2)]dr$$
$$= \pi h \left[\frac{r^4}{4} + \int_{0}^{t^2} f(u)du\right]_{0}^{t}$$
$$= \pi h \left[\frac{t^4}{4} + \int_{0}^{t^2} f(u)du\right]$$
步骤 3：求导
对$F(t)$关于$t$求导，得到$F'(t)$：
$$F'(t) = \pi h \left[t^3 + 2tf(t^2)\right]$$
$$= 2\pi t \left[\frac{ht^2}{2} + hf(t^2)\right]$$
$$= 2\pi t \left[\frac{h^2}{3} + hf(t^2)\right]$$
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，积分区域$\Omega$在极坐标系下表示为$0 \leq r \leq t$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq z \leq h$。
步骤 2：计算积分
将原积分转换为极坐标系下的形式，得到：
$$F(t) = \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{t} [r^2\cos^2\theta + f(r^2)]rdr$$
$$= 2\pi h \int_{0}^{t} [r^3\cos^2\theta + rf(r^2)]dr$$
由于$\cos^2\theta$在$0$到$2\pi$的积分是$\pi$，所以：
$$F(t) = 2\pi h \int_{0}^{t} [r^3\pi/2 + rf(r^2)]dr$$
$$= \pi h \int_{0}^{t} [r^3 + 2rf(r^2)]dr$$
$$= \pi h \left[\frac{r^4}{4} + \int_{0}^{t^2} f(u)du\right]_{0}^{t}$$
$$= \pi h \left[\frac{t^4}{4} + \int_{0}^{t^2} f(u)du\right]$$
步骤 3：求导
对$F(t)$关于$t$求导，得到$F'(t)$：
$$F'(t) = \pi h \left[t^3 + 2tf(t^2)\right]$$
$$= 2\pi t \left[\frac{ht^2}{2} + hf(t^2)\right]$$
$$= 2\pi t \left[\frac{h^2}{3} + hf(t^2)\right]$$