题目
2.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为 rho =-dfrac (4)(9)(c)_(0)(V)_(0)(d)^-dfrac (4{3)}(x)^-dfrac (2{3)}, 阴-|||-极板位于 x=0 处,阳极板位于 x=d 处,极间电压为U0;如果 _(0)=40V =-|||-1cm,横截面 =10(cm)^2, 试求:(1) x=0 至 x=d 区域内的总电荷量;(2) x=-|||-d/2 至 x=d 区域内的总电荷量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 x=0 至 x=d 区域内的总电荷量
根据题目中给出的电荷体密度公式 $\rho =-\dfrac {4}{9}{c}_{0}{V}_{0}{d}^{-\dfrac {4}{3}}{x}^{-\dfrac {2}{3}}$，我们需要计算从 x=0 到 x=d 的总电荷量。总电荷量可以通过对电荷体密度在体积上的积分得到，即 $q = \int \rho dV$。由于电荷体密度只随 x 变化，且横截面 S 为常数，因此可以简化为 $q = \int_{0}^{d} \rho S dx$。
步骤 2：代入已知数值
将题目中给出的数值代入，即 ${U}_{0}=40V$，$d=1cm=0.01m$，$S=10cm^2=10^{-3}m^2$，代入电荷体密度公式 $\rho =-\dfrac {4}{9}{c}_{0}{V}_{0}{d}^{-\dfrac {4}{3}}{x}^{-\dfrac {2}{3}}$，其中 ${c}_{0}$ 是真空介电常数，约为 $8.854 \times 10^{-12} F/m$。
步骤 3：计算 x=d/2 至 x=d 区域内的总电荷量
同理，计算从 x=d/2 到 x=d 的总电荷量，即 $q = \int_{d/2}^{d} \rho S dx$。
根据题目中给出的电荷体密度公式 $\rho =-\dfrac {4}{9}{c}_{0}{V}_{0}{d}^{-\dfrac {4}{3}}{x}^{-\dfrac {2}{3}}$，我们需要计算从 x=0 到 x=d 的总电荷量。总电荷量可以通过对电荷体密度在体积上的积分得到，即 $q = \int \rho dV$。由于电荷体密度只随 x 变化，且横截面 S 为常数，因此可以简化为 $q = \int_{0}^{d} \rho S dx$。
步骤 2：代入已知数值
将题目中给出的数值代入，即 ${U}_{0}=40V$，$d=1cm=0.01m$，$S=10cm^2=10^{-3}m^2$，代入电荷体密度公式 $\rho =-\dfrac {4}{9}{c}_{0}{V}_{0}{d}^{-\dfrac {4}{3}}{x}^{-\dfrac {2}{3}}$，其中 ${c}_{0}$ 是真空介电常数，约为 $8.854 \times 10^{-12} F/m$。
步骤 3：计算 x=d/2 至 x=d 区域内的总电荷量
同理，计算从 x=d/2 到 x=d 的总电荷量，即 $q = \int_{d/2}^{d} \rho S dx$。