1.4函数f(x)=lim_(tto0)(1+(sin t)/(x))^(x^(2)/(t))在(-∞,+∞)内（）.A. 连续B. 有可去间断点C. 有跳跃间断点D. 有无穷间断点

考查要点：本题主要考查函数极限的计算、连续性及间断点类型的判断。
解题核心思路：

1. 化简函数表达式：利用自然对数的极限公式 $\lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{1}{y}} = e$，将原式转化为指数函数形式。
2. 分析不同 $x$ 值的情况：
   • 当 $x \neq 0$ 时，函数化简为 $e^x$，在定义域内连续。
   • 当 $x = 0$ 时，函数无定义，需判断是否存在可去间断点。
3. 判断间断点类型：通过计算 $x \to 0$ 时的极限，验证是否存在可去间断点。

破题关键点：

• 正确应用极限公式，将原式转化为指数函数。
• 区分不同间断点类型的关键在于极限是否存在且有限。

当 $x \neq 0$ 时

将原式变形为：
$f(x) = \lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}.$
令 $y = \frac{\sin t}{x}$，当 $t \to 0$ 时，$\sin t \approx t$，故 $y \approx \frac{t}{x}$。此时指数部分可改写为：
$\frac{x^2}{t} = \frac{x}{y}.$
因此，原式可转化为：
$\lim_{y \to 0} \left(1 + y\right)^{\frac{x}{y}} = e^x.$
结论：当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = e^x$，在定义域内连续。

当 $x = 0$ 时

函数表达式为：
$f(0) = \lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{\sin t}{0}\right)^{\frac{0^2}{t}},$
分母为 $0$，表达式无意义，故 $x = 0$ 处无定义。

判断间断点类型

计算 $x \to 0$ 时的极限：
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} e^x = 1.$
由于 $x = 0$ 处无定义但极限存在，存在可去间断点。