题目
1.16 已知矢量E=e_(x)(x^2+axz)+e_(y)(xy^2+by)+e_(z)(z-z^2+czz-2xyz)，试确定常数a、b、c使E为无源场。
1.16 已知矢量$E=e_{x}(x^{2}+axz)+e_{y}(xy^{2}+by)+e_{z}(z-z^{2}+czz-2xyz)$，试确定常数a、b、c使E为无源场。
题目解答
答案
根据题意，计算 $ E $ 的散度：
\[
\nabla \cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = (2x + az) + (2xy + b) + (1 - 2z + cx - 2xy) = (2 + c)x + (a - 2)z + (b + 1)
\]
令 $ \nabla \cdot E = 0 $，得：
\[
\begin{cases}
2 + c = 0 \\
a - 2 = 0 \\
b + 1 = 0
\end{cases}
\]
解得：
\[
a = 2, \quad b = -1, \quad c = -2
\]
答案：$ a = 2 $，$ b = -1 $，$ c = -2 $。
解析
无源场的条件是矢量场的散度为零。本题要求确定常数$a$、$b$、$c$，使得矢量场$E$满足$\nabla \cdot E = 0$。解题的关键在于：
- 计算散度：分别对$E_x$、$E_y$、$E_z$求偏导并相加；
- 整理表达式：将散度结果按变量$x$、$z$和常数项分类；
- 令各系数为零：通过方程组求解$a$、$b$、$c$。
计算散度
矢量场$E$的分量为：
- $E_x = x^2 + a x z$
- $E_y = x y^2 + b y$
- $E_z = z - z^2 + c x z - 2 x y z$
对$E_x$求偏导
$\frac{\partial E_x}{\partial x} = 2x + a z$
对$E_y$求偏导
$\frac{\partial E_y}{\partial y} = 2x y + b$
对$E_z$求偏导
$\frac{\partial E_z}{\partial z} = 1 - 2z + c x - 2x y$
整理散度表达式
将三个偏导数相加：
$\nabla \cdot E = (2x + a z) + (2x y + b) + (1 - 2z + c x - 2x y)$
合并同类项：
$\nabla \cdot E = (2 + c)x + (a - 2)z + (b + 1)$
建立方程组
令$\nabla \cdot E = 0$，得：
$\begin{cases}2 + c = 0 \\a - 2 = 0 \\b + 1 = 0\end{cases}$
解方程组
解得：
$a = 2, \quad b = -1, \quad c = -2$