7. (10.0分) 设A=(}1&1-5&1=____.

为了求矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} $ 的 $ \text{cond}(A)_1 $，我们需要计算 $ A $ 的1-范数条件数。1-范数条件数定义为 $ \text{cond}(A)_1 = $A$_1 $A^{-1}$_1 $。因此，我们需要先计算 $ $A$_1 $ 和 $ $A^{-1}$_1 $。 ### 步骤1: 计算 $ $A$_1 $ 矩阵的1-范数是矩阵的列绝对值之和的最大值。对于矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} $： - 第一列的绝对值之和为 $ |1| + |-5| = 1 + 5 = 6 $ - 第二列的绝对值之和为 $ |1| + |1| = 1 + 1 = 2 $ 因此， $ $A$_1 = \max(6, 2) = 6 $。 ### 步骤2: 计算 $ A^{-1} $ 矩阵 $ A $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $ 可以通过公式 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $ 计算，其中 $ \det(A) $ 是 $ A $ 的行列式， $ \text{adj}(A) $ 是 $ A $ 的伴随矩阵。 首先，计算 $ A $ 的行列式： \[ \det(A) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-5) = 1 + 5 = 6 \] 接下来，计算 $ A $ 的伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $。伴随矩阵是 $ A $ 的余子式矩阵的转置。 $ A $ 的余子式矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] 因此，伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ 为： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \] 于是，逆矩阵 $ A^{-1} $ 为： \[ A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\ \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \] ### 步骤3: 计算 $ $A^{-1}$_1 $ 矩阵 $ A^{-1} $ 的1-范数是 $ A^{-1} $ 的列绝对值之和的最大值。对于矩阵 $ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\ \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} $： - 第一列的绝对值之和为 $ \left| \frac{1}{6} \right| + \left| \frac{5}{6} \right| = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1 $ - 第二列的绝对值之和为 $ \left| -\frac{1}{6} \right| + \left| \frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} $ 因此， $ $A^{-1}$_1 = \max(1, \frac{1}{3}) = 1 $。 ### 步骤4: 计算 $ \text{cond}(A)_1 $ 最后，计算 $ A $ 的1-范数条件数： \[ \text{cond}(A)_1 = $A$_1 $A^{-1}$_1 = 6 \cdot 1 = 6 \] Thus, the answer is: \[ \boxed{6} \]