微分方程y''-2y'+y=0的通解为______。

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的通解求解方法，核心在于特征方程法的应用。

解题思路：

1. 写出特征方程：将微分方程中的微分项替换为对应的特征方程形式（如$y'' \rightarrow r^2$，$y' \rightarrow r$）。
2. 求解特征根：解二次方程，判断根的性质（实根、复根、重根）。
3. 构造通解：根据特征根的不同情况，选择对应的解形式。特别地，当特征方程有重根时，通解形式需包含多项式因子。

破题关键：正确识别特征方程的根为二重实根，并应用对应的通解结构。

步骤1：写出特征方程
原微分方程为 $y'' - 2y' + y = 0$，对应的特征方程为：
$r^2 - 2r + 1 = 0$

步骤2：求解特征根
解方程 $r^2 - 2r + 1 = 0$：

• 判别式 $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$，说明方程有二重实根。
• 根为 $r = \frac{2}{2} = 1$，即特征根为 $r_1 = r_2 = 1$。

步骤3：构造通解
当特征方程有二重实根 $r$ 时，通解形式为：
$y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$
代入 $r = 1$，得通解：
$y = (C_1 + C_2 x) e^{x}$