题目
一个螺绕环,匝数N,内半径R1,外半径R1,高h。(1)求自感(2)轴线上有一个无限长载流直导线,求互感
一个螺绕环,匝数N,内半径
,外半径
,高h。
(1)求自感
(2)轴线上有一个无限长载流直导线,求互感
题目解答
答案
解：
（1）
对于螺绕环，通过其的磁通量
所以
自感
（2）
设螺绕环中的电流为
，轴线上无限长载流直导线中的电流为
。
无限长直导线在螺绕环处产生的磁感应强度
为螺绕环到直导线的距离）
通过螺绕环的磁通量
互感
例如，如果螺绕环的匝数增加，自感会增大；再比如，当无限长直导线中的电流增大时，通过螺绕环的磁通量会增加，从而互感也会增大。
解析
步骤 1：计算自感
对于螺绕环，自感的计算公式为：
\[ L = \frac{N^2 \mu_0 A}{l} \]
其中，\( N \) 是螺绕环的匝数，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( A \) 是螺绕环的横截面积，\( l \) 是螺绕环的平均周长。
步骤 2：计算横截面积和平均周长
螺绕环的横截面积 \( A \) 可以近似为圆环的面积，即：
\[ A = \pi (R_2^2 - R_1^2) \]
螺绕环的平均周长 \( l \) 可以近似为圆环的平均周长，即：
\[ l = 2\pi \frac{R_1 + R_2}{2} = \pi (R_1 + R_2) \]
步骤 3：计算自感
将横截面积和平均周长代入自感公式，得到：
\[ L = \frac{N^2 \mu_0 \pi (R_2^2 - R_1^2)}{\pi (R_1 + R_2)} = \frac{N^2 \mu_0 (R_2^2 - R_1^2)}{R_1 + R_2} \]
步骤 4：计算互感
设螺绕环中的电流为 \( I_1 \)，轴线上无限长载流直导线中的电流为 \( I_2 \)。无限长直导线在螺绕环处产生的磁感应强度 \( B \) 为：
\[ B = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} \]
其中，\( r \) 是螺绕环到直导线的距离。通过螺绕环的磁通量 \( \Phi \) 可以表示为：
\[ \Phi = \int_{R_1}^{R_2} B \cdot h \cdot dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} \cdot h \cdot dr = \frac{\mu_0 I_2 h}{2\pi} \ln \left( \frac{R_2}{R_1} \right) \]
互感 \( M \) 可以表示为：
\[ M = \frac{\Phi}{I_2} = \frac{\mu_0 h}{2\pi} \ln \left( \frac{R_2}{R_1} \right) \]
对于螺绕环，自感的计算公式为：
\[ L = \frac{N^2 \mu_0 A}{l} \]
其中，\( N \) 是螺绕环的匝数，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( A \) 是螺绕环的横截面积，\( l \) 是螺绕环的平均周长。
步骤 2：计算横截面积和平均周长
螺绕环的横截面积 \( A \) 可以近似为圆环的面积，即：
\[ A = \pi (R_2^2 - R_1^2) \]
螺绕环的平均周长 \( l \) 可以近似为圆环的平均周长，即：
\[ l = 2\pi \frac{R_1 + R_2}{2} = \pi (R_1 + R_2) \]
步骤 3：计算自感
将横截面积和平均周长代入自感公式，得到：
\[ L = \frac{N^2 \mu_0 \pi (R_2^2 - R_1^2)}{\pi (R_1 + R_2)} = \frac{N^2 \mu_0 (R_2^2 - R_1^2)}{R_1 + R_2} \]
步骤 4：计算互感
设螺绕环中的电流为 \( I_1 \)，轴线上无限长载流直导线中的电流为 \( I_2 \)。无限长直导线在螺绕环处产生的磁感应强度 \( B \) 为：
\[ B = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} \]
其中，\( r \) 是螺绕环到直导线的距离。通过螺绕环的磁通量 \( \Phi \) 可以表示为：
\[ \Phi = \int_{R_1}^{R_2} B \cdot h \cdot dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} \cdot h \cdot dr = \frac{\mu_0 I_2 h}{2\pi} \ln \left( \frac{R_2}{R_1} \right) \]
互感 \( M \) 可以表示为：
\[ M = \frac{\Phi}{I_2} = \frac{\mu_0 h}{2\pi} \ln \left( \frac{R_2}{R_1} \right) \]