题目
某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是 ____ ；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是 ____ ．
某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是 ____ ；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是 ____ ．
题目解答
答案
解：设事件4表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，
则P（A）=0.2，P（D|A）=0.4，P（B）=0.4，P（D|B）=0.3，P（C）=0.4，P（D|C）=0.5，
D=（D∩A）∪（D∩B）∪（D∩C），
由全概率公式得：P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5=0.4，
如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：
P（B|D）=$\frac{P（D∩B）}{P（D）}$=$\frac{P（B）P（D|B）}{P（D）}$=$\frac{0.4×0.3}{0.4}$=0.3，
故答案为：0.4；0.3．
则P（A）=0.2，P（D|A）=0.4，P（B）=0.4，P（D|B）=0.3，P（C）=0.4，P（D|C）=0.5，
D=（D∩A）∪（D∩B）∪（D∩C），
由全概率公式得：P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5=0.4，
如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：
P（B|D）=$\frac{P（D∩B）}{P（D）}$=$\frac{P（B）P（D|B）}{P（D）}$=$\frac{0.4×0.3}{0.4}$=0.3，
故答案为：0.4；0.3．
解析
考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的理解与计算。
解题核心思路：
- 第一空：计算迟到的总概率，需将不同交通工具对应的迟到概率加权求和，权重为选择各交通工具的概率。
- 第二空：已知迟到的情况下，求选择轮船的概率，需用贝叶斯公式计算后验概率。
破题关键点：
- 明确事件间的关系：交通工具选择互斥且穷尽所有可能。
- 正确应用全概率公式计算总迟到概率。
- 通过贝叶斯公式反推条件概率。
第一空：迟到的总概率
根据全概率公式，迟到的总概率为各交通工具对应的迟到概率的加权和：
$\begin{aligned}P(D) &= P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) \\&= 0.2 \times 0.4 + 0.4 \times 0.3 + 0.4 \times 0.5 \\&= 0.08 + 0.12 + 0.2 \\&= 0.4\end{aligned}$
第二空：已知迟到时乘船的概率
根据贝叶斯公式：
$\begin{aligned}P(B|D) &= \frac{P(B)P(D|B)}{P(D)} \\&= \frac{0.4 \times 0.3}{0.4} \\&= 0.3\end{aligned}$