题目

已知α1，α2，α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ ）A. k1α1+k2α2+k3α3B. α1+α2，α2+α3，α3+α1C. α1-α2，α2-α3D. α1，α1-α2+α3，α3-α2

已知α1，α2，α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ ）
A. k1α1+k2α2+k3α3
B. α1+α2，α2+α3，α3+α1
C. α1-α2，α2-α3
D. α1，α1-α2+α3，α3-α2

题目解答

答案

由于α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，说明Ax=0的基础解系必须含有三个解向量。

∴利用排除法：基础解系的个数是相同的，排除A，C，

又D中第一个向量加第3个向量等于第2个向量，即D的三个向量线性相关，所以D不是一组基础解系。

对于选项B. 由于{α1+α2,α2+α3,α3+α1}={α1,α2,α3}⎡⎣⎢110011101⎤⎦⎥

而⎛⎝⎜110011101⎞⎠⎟=2≠0

∴r{α1+α2,α2+α3,α3+α1}=r{α1,α2,α3}=3

即{α1+α2,α2+α3,α3+α1}线性无关

因而是齐次方程组Ax=0的基础解系。

故B正确

故选：B.

解析

步骤 1：理解基础解系的定义
基础解系是指齐次线性方程组的解空间中的一组线性无关的解向量，它们可以生成解空间中的所有解。基础解系的个数等于解空间的维数，即方程组的自由变量个数。

步骤 2：分析选项
A. k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3
这个选项表示的是基础解系的线性组合，但线性组合不一定线性无关，因此不能确定是否是基础解系。

B. α_1+α_2，α_2+α_3，α_3+α_1
这个选项表示的是基础解系的线性组合，需要验证这三个向量是否线性无关。由于α_1，α_2，α_3是线性无关的，可以验证这三个向量也是线性无关的，因此可以是基础解系。

C. α_1-α_2，α_2-α_3
这个选项表示的是基础解系的线性组合，但只有两个向量，而基础解系的个数是3，因此不能是基础解系。

D. α_1，α_1-α_2+α_3，α_3-α_2
这个选项表示的是基础解系的线性组合，但需要验证这三个向量是否线性无关。由于α_1，α_2，α_3是线性无关的，可以验证这三个向量也是线性无关的，因此可以是基础解系。

步骤 3：选择正确答案
根据以上分析，选项B和D都可以是基础解系，但题目要求选择一个正确答案，因此需要进一步验证。由于选项B的向量个数与基础解系的个数相同，因此选项B是正确答案。