题目

如果复数z=x+iy，幅角z=x+iy，下列选项错误的是（）z=x+iyz=x+iyz=x+iyz=x+iy

如果复数 $z=x+iy$ ，幅角 $\theta$ ，下列选项错误的是（）

$A.\arg z=\arctan\frac{y}{x}$

$B.z=\mid z\mid(\cos\theta+i\sin\theta)$

$C.\mid z\mid=\sqrt{x^2+y^2}$

$D.z=\mid z\mid e^{i\theta}$

题目解答

答案

因复数 $z=x+iy$ ，幅角 $\theta$

则 $\mid z\mid=\sqrt{x^2+y^2}$ ，且 $z=\mid z\mid e^{i\theta}$

$\arg z=\arctan\frac{y}{x}+2k\pi$ ，其中 $k$ 为整数。

因 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

则 $z=\mid z\mid(\cos\theta+i\sin\theta)$

故答案为： $A$

解析

步骤 1：复数的模
复数$z=x+iy$的模定义为$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$，这表示复数在复平面上的点到原点的距离。因此，选项C是正确的。

步骤 2：复数的幅角
复数$z=x+iy$的幅角$\theta$是复数在复平面上的点与正实轴之间的夹角。幅角的主值通常定义为$-\pi<\theta\leq\pi$。复数的幅角可以通过$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$来计算，但需要注意的是，这个公式只适用于$x>0$的情况。当$x<0$时，需要根据复数所在的象限来调整幅角的值。因此，选项A是不完全正确的，因为它没有考虑$x$的符号。

步骤 3：复数的极坐标表示
复数$z=x+iy$可以表示为$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$|z|$是复数的模，$\theta$是复数的幅角。这是复数的极坐标表示形式，因此选项B是正确的。

步骤 4：复数的指数表示
复数$z=x+iy$也可以表示为$z=|z|e^{i\theta}$，其中$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$。这是复数的指数表示形式，因此选项D是正确的。