题目
4.填空题已知二次型f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+ax_(2)^2+x_(3)^2+2bx_(1)x_(2)+2x_(1)x_(3)+2x_(2)x_(3)可经正交变换(x_(1),x_(2),x_(3))^T=(y_(1),y_(2),y_(3))^T化为f=y_(2)^2+4y_(3)^2，则a=____，b=____.第1空：请输入答案第2空：请输入答案
4.填空题
已知二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2bx_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$可经正交变换$(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}$化为$f=y_{2}^{2}+4y_{3}^{2}$，则a=____，b=____.
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题目解答
答案
二次型矩阵 $ A $ 为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & b & 1 \\
b & a & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
正交变换后特征值为 $ 0, 1, 4 $。
**迹与行列式**：
- 迹：$ 1 + a + 1 = a + 2 = 5 $，解得 $ a = 3 $。
- 行列式：
\[
\det(A) = -b^2 + 2b - 1 = 0 \implies (b - 1)^2 = 0 \implies b = 1
\]
**答案**：
\[
\boxed{3, 1}
\]
解析
考查要点：本题主要考查二次型的标准形、正交变换及矩阵特征值的应用。
解题思路：
- 构造二次型矩阵：根据二次型表达式写出对称矩阵$A$。
- 确定特征值：正交变换后的标准形系数即为$A$的特征值，本题中特征值为$0,1,4$。
- 利用迹和行列式求参数：
- 迹（对角线元素之和）等于特征值之和，用于求$a$。
- 行列式等于特征值乘积，用于求$b$。
构造二次型矩阵$A$
二次型$f$对应的对称矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}1 & b & 1 \\b & a & 1 \\1 & 1 & 1\end{pmatrix}$
确定特征值
正交变换后$f = y_2^2 + 4y_3^2$，说明$A$的特征值为$0,1,4$。
求$a$（利用迹）
矩阵的迹为$1 + a + 1 = a + 2$，特征值之和为$0 + 1 + 4 = 5$，因此：
$a + 2 = 5 \implies a = 3$
求$b$（利用行列式）
行列式$\det(A)$等于特征值乘积$0 \times 1 \times 4 = 0$。将$a=3$代入矩阵$A$，计算行列式：
$\det(A) = \begin{vmatrix}1 & b & 1 \\b & 3 & 1 \\1 & 1 & 1\end{vmatrix} = -b^2 + 2b - 1$
令$\det(A) = 0$，解得：
$(b - 1)^2 = 0 \implies b = 1$