若f(x)在[a,b ]上连续, lt (x)_(1)lt (x)_(2)lt ... lt (x)_(n)lt b(ngeqslant 3), 则在(x1,xn)内-|||-至少有一点ξ,使 (xi )=dfrac (f({x)_(1))+f((x)_(2))+... +f((x)_(n))}(n)

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理及其应用，要求学生理解如何利用函数在区间上的最值性质推导出中间值的存在性。

解题核心思路：

1. 确定连续性：利用已知条件$f(x)$在$[a,b]$上连续，进而推导出其在子区间$[x_1, x_n]$上的连续性。
2. 最值存在性：根据连续函数在闭区间上的性质，确定最大值$M$和最小值$m$。
3. 平均值与最值的关系：通过比较平均值$\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$与$M$、$m$的大小，分情况讨论：
   • 严格介于$M$和$m$之间时，直接应用介值定理；
   • 等于$M$或$m$时，证明所有$f(x_i)$相等，从而在区间内部选取合适的$\xi$。

步骤1：连续性与最值的存在性

由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，而$[x_1, x_n] \subseteq [a,b]$，因此$f(x)$在$[x_1, x_n]$上连续。根据连续函数的性质，$f(x)$在$[x_1, x_n]$上存在最大值$M$和最小值$m$，即：
$M = \max\{f(x) \mid x_1 \leq x \leq x_n\}, \quad m = \min\{f(x) \mid x_1 \leq x \leq x_n\}.$

步骤2：平均值与最值的比较

计算平均值：
$\overline{f} = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}.$
显然，每个$f(x_i)$满足$m \leq f(x_i) \leq M$，因此：
$m \leq \overline{f} \leq M.$

步骤3：分情况讨论

情况1：$\overline{f}$严格介于$m$和$M$之间

若$m < \overline{f} < M$，根据介值定理，存在$\xi \in (x_1, x_n)$，使得：
$f(\xi) = \overline{f}.$

情况2：$\overline{f} = m$

若$\overline{f} = m$，则所有$f(x_i) = m$（否则平均值会大于$m$）。此时，任取$x_2, x_3, \ldots, x_{n-1}$中的任意一点作为$\xi$，显然$\xi \in (x_1, x_n)$，且$f(\xi) = m = \overline{f}$。

情况3：$\overline{f} = M$

同理，若$\overline{f} = M$，则所有$f(x_i) = M$，此时任取$x_2, x_3, \ldots, x_{n-1}$中的任意一点作为$\xi$，满足$f(\xi) = M = \overline{f}$。