【例5】(1997)对数螺线ρ=e^theta在点(ρ,θ)=(e^(pi)/(2),(pi)/(2))处的切线的直角坐标方程为____.

将对数螺线 $\rho = e^\theta$ 转换为直角坐标： \[ x = e^\theta \cos \theta, \quad y = e^\theta \sin \theta. \] 当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，对应点为 $(0, e^{\frac{\pi}{2}})$。 计算导数： \[ \frac{dx}{d\theta} = e^\theta (\cos \theta - \sin \theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = e^\theta (\sin \theta + \cos \theta), \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}. \] 在 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 处，斜率 $k = -1$。 切线方程为： \[ y - e^{\frac{\pi}{2}} = -x, \] 即 \[ \boxed{x + y = e^{\frac{\pi}{2}}}. \]