[题目]-|||-求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 . 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.

考查要点：本题主要考查空间曲线在某点处的切线方程和法平面方程的求解方法。
解题思路：

1. 验证点是否在曲线上：将点代入两个方程，确认其属于联立曲线。
2. 求曲面法向量：分别对两个曲面方程求梯度，得到各自的法向量。
3. 求切线方向向量：通过两个法向量的叉积得到切线方向向量。
4. 写方程：利用点和方向向量写出切线方程，利用方向向量作为法向量写出法平面方程。

验证点(1,1,1)在曲线上

将点代入两个方程：

1. $x^2 + y^2 + z^2 - 3x = 1 + 1 + 1 - 3 = 0$，满足。
2. $2x - 3y + 5z - 4 = 2 - 3 + 5 - 4 = 0$，满足。

求曲面法向量

1. 球面方程 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 3x$ 的梯度为：
   $\nabla F = (2x - 3, 2y, 2z)$
   在点(1,1,1)处，$\nabla F = (-1, 2, 2)$。
2. 平面方程 $G(x,y,z) = 2x - 3y + 5z - 4$ 的梯度为：
   $\nabla G = (2, -3, 5)$

求切线方向向量

计算两个法向量的叉积：
$\begin{aligned}\nabla F \times \nabla G &= \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-1 & 2 & 2 \\2 & -3 & 5\end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i}(2 \cdot 5 - 2 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 5 - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2) \\ &= 16\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - \mathbf{k} \end{aligned}$
切线方向向量为 $(16, 9, -1)$。

写切线方程

对称式方程为：
$\frac{x - 1}{16} = \frac{y - 1}{9} = \frac{z - 1}{-1}$

写法平面方程

法平面方程为：
$16(x - 1) + 9(y - 1) - (z - 1) = 0$
化简得：
$16x + 9y - z - 24 = 0$