题目
设矩阵 0-|||-4= 2 4 -2-|||-0 -2 5正定,则其在正交变换下的标准形为()A. 0-|||-4= 2 4 -2-|||-0 -2 5B. 0-|||-4= 2 4 -2-|||-0 -2 5C. 0-|||-4= 2 4 -2-|||-0 -2 5D. 0-|||-4= 2 4 -2-|||-0 -2 5
设矩阵
正定,则其在正交变换下的标准形为()
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
设A在正交变换下的标准形为B,因为A正定,则B也正定,则|B| >0.
则在各选项中,只有C选项中的行列式大于零,则答案为C.
解析
步骤 1：确定矩阵A的特征值
首先，我们需要计算矩阵A的特征值。矩阵A的特征值是满足$det(A-\lambda I)=0$的$\lambda$值，其中I是单位矩阵。计算特征值的过程如下：
$$det(A-\lambda I)=det\left (\begin{matrix} 3-\lambda& 2& 0\\ 2& 4-\lambda& -2\\ 0& -2& 5-\lambda\end{matrix} ) \right.$$
步骤 2：计算行列式
计算行列式，得到特征多项式：
$$(3-\lambda)((4-\lambda)(5-\lambda)-4)-2(2(5-\lambda)-0)=0$$
步骤 3：求解特征值
解特征多项式，得到特征值$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$，$\lambda_3=11$。
步骤 4：确定正交变换下的标准形
由于矩阵A正定，其在正交变换下的标准形为对角矩阵，且对角线上的元素为特征值。因此，标准形为：
$$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 11\end{matrix} ) \right.$$
首先，我们需要计算矩阵A的特征值。矩阵A的特征值是满足$det(A-\lambda I)=0$的$\lambda$值，其中I是单位矩阵。计算特征值的过程如下：
$$det(A-\lambda I)=det\left (\begin{matrix} 3-\lambda& 2& 0\\ 2& 4-\lambda& -2\\ 0& -2& 5-\lambda\end{matrix} ) \right.$$
步骤 2：计算行列式
计算行列式，得到特征多项式：
$$(3-\lambda)((4-\lambda)(5-\lambda)-4)-2(2(5-\lambda)-0)=0$$
步骤 3：求解特征值
解特征多项式，得到特征值$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$，$\lambda_3=11$。
步骤 4：确定正交变换下的标准形
由于矩阵A正定，其在正交变换下的标准形为对角矩阵，且对角线上的元素为特征值。因此，标准形为：
$$\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 11\end{matrix} ) \right.$$