题目
(int )_(-pi )^pi sqrt ({pi )^2-(x)^2}dx= )(int )_(-pi )^pi sqrt ({pi )^2-(x)^2}dx= )(int )_(-pi )^pi sqrt ({pi )^2-(x)^2}dx= )(int )_(-pi )^pi sqrt ({pi )^2-(x)^2}dx= )(int )_(-pi )^pi sqrt ({pi )^2-(x)^2}dx= )
题目解答
答案
由题意得，
根据定积分的几何意义可得，
。
故答案选
.
解析
步骤 1：理解定积分的几何意义
定积分${\int }_{-\pi }^{\pi }\sqrt {{\pi }^{2}-{x}^{2}}dx$表示的是在区间$[-\pi, \pi]$上，函数$y=\sqrt {{\pi }^{2}-{x}^{2}}$与x轴围成的面积。这个函数表示的是一个半径为$\pi$的圆的上半部分，因此，定积分的值就是这个半圆的面积。
步骤 2：计算半圆的面积
半圆的面积可以通过圆的面积公式$A=\pi r^2$计算，其中$r$是圆的半径。对于半圆，面积为$A=\dfrac{1}{2}\pi r^2$。在这个问题中，半圆的半径$r=\pi$，因此，半圆的面积为$A=\dfrac{1}{2}\pi \pi^2=\dfrac{{\pi}^3}{2}$。
步骤 3：得出结论
根据定积分的几何意义和半圆面积的计算，可以得出${\int }_{-\pi }^{\pi }\sqrt {{\pi }^{2}-{x}^{2}}dx=\dfrac{{\pi}^3}{2}$。
定积分${\int }_{-\pi }^{\pi }\sqrt {{\pi }^{2}-{x}^{2}}dx$表示的是在区间$[-\pi, \pi]$上，函数$y=\sqrt {{\pi }^{2}-{x}^{2}}$与x轴围成的面积。这个函数表示的是一个半径为$\pi$的圆的上半部分，因此，定积分的值就是这个半圆的面积。
步骤 2：计算半圆的面积
半圆的面积可以通过圆的面积公式$A=\pi r^2$计算，其中$r$是圆的半径。对于半圆，面积为$A=\dfrac{1}{2}\pi r^2$。在这个问题中，半圆的半径$r=\pi$，因此，半圆的面积为$A=\dfrac{1}{2}\pi \pi^2=\dfrac{{\pi}^3}{2}$。
步骤 3：得出结论
根据定积分的几何意义和半圆面积的计算，可以得出${\int }_{-\pi }^{\pi }\sqrt {{\pi }^{2}-{x}^{2}}dx=\dfrac{{\pi}^3}{2}$。