题目
16. 级数 sum _(n=1)^infty (n)_(n) 收敛的充要条件是: () 。-|||-A) lim _(narrow infty )(u)_(n)=0-|||-(B) lim _(narrow infty )dfrac ({u)_(n+1)}({u)_(n)}=rlt 1-|||-(C) _(n)leqslant dfrac (1)({n)^2} (D)limSn存在(其中 _(n)=(u)_(1)+(u)_(2)+... +(u)_(n))
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解级数收敛的定义
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$ 收敛的定义是部分和序列 ${S}_{n}={u}_{1}+{u}_{2}+\cdots +{u}_{n}$ 的极限存在，即 $\lim _{n\rightarrow \infty }{S}_{n}$ 存在。
步骤 2：分析选项A
选项A：$\lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=0$。这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。例如，调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 的通项 $\dfrac {1}{n}$ 趋向于0，但级数发散。
步骤 3：分析选项B
选项B：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=r\lt 1$。这是比值审敛法，适用于正项级数，但不是所有级数的充要条件。
步骤 4：分析选项C
选项C：${u}_{n}\leqslant \dfrac {1}{{n}^{2}}$。这是级数收敛的一个充分条件，但不是充要条件。例如，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 收敛，但级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 发散，尽管 $\dfrac {1}{n}\leqslant \dfrac {1}{{n}^{2}}$ 对于所有 $n\geqslant 1$ 成立。
步骤 5：分析选项D
选项D：$\lim _{n\rightarrow \infty }{S}_{n}$ 存在。这是级数收敛的定义，因此是充要条件。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$ 收敛的定义是部分和序列 ${S}_{n}={u}_{1}+{u}_{2}+\cdots +{u}_{n}$ 的极限存在，即 $\lim _{n\rightarrow \infty }{S}_{n}$ 存在。
步骤 2：分析选项A
选项A：$\lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=0$。这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。例如，调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 的通项 $\dfrac {1}{n}$ 趋向于0，但级数发散。
步骤 3：分析选项B
选项B：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=r\lt 1$。这是比值审敛法，适用于正项级数，但不是所有级数的充要条件。
步骤 4：分析选项C
选项C：${u}_{n}\leqslant \dfrac {1}{{n}^{2}}$。这是级数收敛的一个充分条件，但不是充要条件。例如，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 收敛，但级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 发散，尽管 $\dfrac {1}{n}\leqslant \dfrac {1}{{n}^{2}}$ 对于所有 $n\geqslant 1$ 成立。
步骤 5：分析选项D
选项D：$\lim _{n\rightarrow \infty }{S}_{n}$ 存在。这是级数收敛的定义，因此是充要条件。