题目
设y=dfrac(x{(1+x))^2}({(1-x))^3}，则y'=A. dfrac(6+x-{x)^2}(x-{x)^3}B. dfrac(1+6x+5{x)^2}({(1-x))^4}C. dfrac({x)^3+x+1}({(1-x))^4}D. dfrac(5{x)^2-(x)^3+1}({(1-x))^4}
设$y=\dfrac{x{\left(1+x\right)}^{2}}{{\left(1-x\right)}^{3}}$，则$y'=$
A. $\dfrac{6+x-{x}^{2}}{x-{x}^{3}}$
B. $\dfrac{1+6x+5{x}^{2}}{{\left(1-x\right)}^{4}}$
C. $\dfrac{{x}^{3}+x+1}{{\left(1-x\right)}^{4}}$
D. $\dfrac{5{x}^{2}-{x}^{3}+1}{{\left(1-x\right)}^{4}}$
题目解答
答案
B. $\dfrac{1+6x+5{x}^{2}}{{\left(1-x\right)}^{4}}$
解析
步骤 1：展开分子
首先，将分子$x{\left(1+x\right)}^{2}$展开，得到$x{\left(1+x\right)}^{2}=x\left(1+2x+x^2\right)=x^3+2x^2+x$。
步骤 2：应用商的导数法则
根据商的导数法则，若$y=\dfrac{u}{v}$，则$y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$。这里$u=x^3+2x^2+x$，$v=(1-x)^3$。
步骤 3：计算导数
计算$u'$和$v'$，得到$u'=3x^2+4x+1$，$v'=-3(1-x)^2$。将这些值代入商的导数法则中，得到$y'=\dfrac{(3x^2+4x+1)(1-x)^3-(x^3+2x^2+x)(-3(1-x)^2)}{(1-x)^6}$。
步骤 4：化简表达式
化简上述表达式，得到$y'=\dfrac{(3x^2+4x+1)(1-x)+3(x^3+2x^2+x)}{(1-x)^4}=\dfrac{1+6x+5x^2}{(1-x)^4}$。
首先，将分子$x{\left(1+x\right)}^{2}$展开，得到$x{\left(1+x\right)}^{2}=x\left(1+2x+x^2\right)=x^3+2x^2+x$。
步骤 2：应用商的导数法则
根据商的导数法则，若$y=\dfrac{u}{v}$，则$y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$。这里$u=x^3+2x^2+x$，$v=(1-x)^3$。
步骤 3：计算导数
计算$u'$和$v'$，得到$u'=3x^2+4x+1$，$v'=-3(1-x)^2$。将这些值代入商的导数法则中，得到$y'=\dfrac{(3x^2+4x+1)(1-x)^3-(x^3+2x^2+x)(-3(1-x)^2)}{(1-x)^6}$。
步骤 4：化简表达式
化简上述表达式，得到$y'=\dfrac{(3x^2+4x+1)(1-x)+3(x^3+2x^2+x)}{(1-x)^4}=\dfrac{1+6x+5x^2}{(1-x)^4}$。