题目
4.在 Delta ABC 中, cos C=dfrac (2)(3) =4 ,BC=3, 则 tan B= ()-|||-A. sqrt (5) B.sqrt (5) C.sqrt (5) D. sqrt (5)
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用余弦定理求AB的长度
根据余弦定理，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，其中 $a = BC = 3$，$b = AC = 4$，$\cos C = \dfrac{2}{3}$。代入这些值，我们得到：
$$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \dfrac{2}{3} = 9 + 16 - 16 = 9$$
因此，$c = AB = 3$。
步骤 2：应用余弦定理求$\cos B$
根据余弦定理，$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$，代入已知值，我们得到：
$$\cos B = \dfrac{3^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 3 \times 3} = \dfrac{9 + 9 - 16}{18} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$$
步骤 3：求$\sin B$和$\tan B$
根据$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，我们得到$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{9}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{80}{81}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{9}$。因此，$\tan B = \dfrac{\sin B}{\cos B} = \dfrac{\dfrac{4\sqrt{5}}{9}}{\dfrac{1}{9}} = 4\sqrt{5}$。
根据余弦定理，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，其中 $a = BC = 3$，$b = AC = 4$，$\cos C = \dfrac{2}{3}$。代入这些值，我们得到：
$$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \dfrac{2}{3} = 9 + 16 - 16 = 9$$
因此，$c = AB = 3$。
步骤 2：应用余弦定理求$\cos B$
根据余弦定理，$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$，代入已知值，我们得到：
$$\cos B = \dfrac{3^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 3 \times 3} = \dfrac{9 + 9 - 16}{18} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$$
步骤 3：求$\sin B$和$\tan B$
根据$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，我们得到$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{9}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{80}{81}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{9}$。因此，$\tan B = \dfrac{\sin B}{\cos B} = \dfrac{\dfrac{4\sqrt{5}}{9}}{\dfrac{1}{9}} = 4\sqrt{5}$。