题目
int (3 cdot 2^x - 2 cdot 3^x)/(2^x) dx =A. 3x - 2ln (3)/(2) cdot ((3)/(2))^x + C;B. 3x - 2x cdot ((3)/(2))^x-1 + C;C. 3 - (2)/(ln 3 - ln 2) cdot ((3)/(2))^x + C;D. 3x - (2)/(ln 3 - ln 2) cdot ((3)/(2))^x + C.
$\int \frac{3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x}{2^x} dx =$
A. $3x - 2\ln \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + C$;
B. $3x - 2x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x-1} + C$;
C. $3 - \frac{2}{\ln 3 - \ln 2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + C$;
D. $3x - \frac{2}{\ln 3 - \ln 2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + C$.
题目解答
答案
D. $3x - \frac{2}{\ln 3 - \ln 2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + C$.
解析
步骤 1：化简被积函数
将被积函数化简为： \[ \frac{3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x}{2^x} = 3 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \]
步骤 2：拆分积分
拆分积分： \[ \int \left[3 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x\right] \, dx = \int 3 \, dx - 2 \int \left(\frac{3}{2}\right)^x \, dx \]
步骤 3：利用指数函数积分公式
利用指数函数积分公式 $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，得： \[ 3x - 2 \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^x}{\ln \frac{3}{2}} + C = 3x - \frac{2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x}{\ln 3 - \ln 2} + C \]
将被积函数化简为： \[ \frac{3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x}{2^x} = 3 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \]
步骤 2：拆分积分
拆分积分： \[ \int \left[3 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x\right] \, dx = \int 3 \, dx - 2 \int \left(\frac{3}{2}\right)^x \, dx \]
步骤 3：利用指数函数积分公式
利用指数函数积分公式 $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，得： \[ 3x - 2 \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^x}{\ln \frac{3}{2}} + C = 3x - \frac{2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x}{\ln 3 - \ln 2} + C \]