题目

3. (2.0分) 设A,B均为n阶矩阵，则(). A (A-B)²=A²-2AB+B² B (A-B)(A+B)=A²-B² C (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹ D 当|AB|≠0时，A,B均可逆

题目解答

答案：D

解析：

A. $(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$，由于矩阵乘法不交换（$AB \neq BA$），故不等于 $A^2 - 2AB + B^2$，错误。

B. $(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2$，同样由于 $AB \neq BA$，不等于 $A^2 - B^2$，错误。

C. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，仅当 $A$ 和 $B$ 均可逆时成立，题目未明确条件，错误。

D. 当 $|AB| \neq 0$ 时，$|A||B| \neq 0$，即 $|A| \neq 0$ 且 $|B| \neq 0$，故 $A$ 和 $B$ 均可逆，正确。

结论： 正确选项为 $\boxed{D}$。

本题考查矩阵的运算性质、可逆矩阵的判定条件。解题思路是根据矩阵运算的规则逐一分析每个选项。

选项A：
根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，但对于矩阵$A$和$B$，由于矩阵乘法不满足交换律，即$AB \neq BA$。
所以$(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2\neq A^2 - 2AB + B^2$，该选项错误。
选项B：
根据平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，但对于矩阵$A$和$B$，由于矩阵乘法不满足交换律，即$AB \neq BA$。
所以$(A - B)(A + B) = A^2 + AB - BA - B^2\neq A^2 - B^2$，该选项错误。
选项C：
根据可逆矩阵的性质，若$A$和$B$均可逆，则$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
但题目未明确$A$和$B$均可逆这一条件，所以该选项错误。
选项D：
根据行列式的性质$\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert$。
当$\vert AB\vert \neq 0$时，即$\vert A\vert\vert B\vert \neq 0$，也就是$\vert A\vert \neq 0$且$\vert B\vert \neq 0$。
根据可逆矩阵的判定条件，若一个矩阵的行列式不为$0$，则该矩阵可逆。
所以当$\vert AB\vert \neq 0$时，$A$和$B$均可逆，该选项正确。