1.求下列不定积分:-|||-(2) int dfrac (1-x)(sqrt {9-4{x)^2}}dx;-|||-__

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分式函数的积分技巧，特别是对分母为二次根式形式的处理，以及分子拆分后的分项积分方法。

解题核心思路：

1. 拆分分子：将分子 $(1-x)$ 拆分为两个独立项，分别与分母组合，形成两个更易处理的积分。
2. 变量替换法：对第一个积分 $\int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} dx$，通过变量替换转化为标准的反正弦函数积分形式；对第二个积分 $\int \frac{x}{\sqrt{9-4x^2}} dx$，通过代数替换简化为幂函数积分。

破题关键点：

• 识别标准积分形式：分母 $\sqrt{9-4x^2}$ 可变形为 $\sqrt{3^2 - (2x)^2}$，提示使用反正弦积分公式。
• 灵活应用替换法：第二个积分通过替换 $u = 9-4x^2$，将积分转化为关于 $u$ 的简单幂函数积分。

将原积分拆分为两个部分：
$\int \frac{1-x}{\sqrt{9-4x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} dx - \int \frac{x}{\sqrt{9-4x^2}} dx$

第一部分：$\int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} dx$

1. 变量替换：令 $u = 2x$，则 $du = 2 dx$，即 $dx = \frac{du}{2}$。
2. 变形积分：
   $\int \frac{1}{\sqrt{9 - u^2}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{9 - u^2}} du$
3. 应用标准公式：$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \arcsin \frac{u}{a} + C$，得：
   $\frac{1}{2} \arcsin \frac{u}{3} + C = \frac{1}{2} \arcsin \frac{2x}{3} + C$

第二部分：$\int \frac{x}{\sqrt{9-4x^2}} dx$

1. 变量替换：令 $u = 9 - 4x^2$，则 $du = -8x dx$，即 $x dx = -\frac{du}{8}$。
2. 变形积分：
   $\int \frac{x}{\sqrt{u}} \cdot \left( -\frac{du}{8} \right) = -\frac{1}{8} \int u^{-1/2} du$
3. 计算幂函数积分：
   $-\frac{1}{8} \cdot 2u^{1/2} + C = -\frac{1}{4} \sqrt{u} + C = -\frac{1}{4} \sqrt{9 - 4x^2} + C$

合并结果

将两部分结果合并：
$\frac{1}{2} \arcsin \frac{2x}{3} - \left( -\frac{1}{4} \sqrt{9 - 4x^2} \right) + C = \frac{1}{2} \arcsin \frac{2x}{3} + \frac{1}{4} \sqrt{9 - 4x^2} + C$