题目
20一维运动的粒子,处于如下的波函数所描述的状态y( r)Axe,(x > 0)0,(x<0)式中A>0,A为常数(1)将此波函数归一化(2)求粒子位置的概率分布函数3)粒子在在何处出现的概率最大
20一维运动的粒子,处于如下的波函数所描述的状态
y( r)
Axe,(x > 0)
0,(x<0)
式中A>0,A为常数
(1)将此波函数归一化
(2)求粒子位置的概率分布函数
3)粒子在在何处出现的概率最大
题目解答
答案
解析
步骤 1：归一化波函数
为了归一化波函数，我们需要找到常数A，使得波函数的模方在整个空间上的积分等于1。即：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1 \]
由于波函数在x<0时为0，我们只需要考虑x>0的部分。因此，归一化条件变为：
\[ \int_{0}^{\infty} |Axe^{-\lambda x}|^2 dx = 1 \]
\[ A^2 \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2\lambda x} dx = 1 \]
步骤 2：计算积分
为了计算上述积分，我们可以使用分部积分法。设u=x^2，dv=e^(-2λx)dx，则du=2xdx，v=-1/(2λ)e^(-2λx)。因此，积分变为：
\[ A^2 \left[ -\frac{x^2}{2\lambda}e^{-2\lambda x} \Big|_0^\infty + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty xe^{-2\lambda x} dx \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ 0 + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty xe^{-2\lambda x} dx \right] = 1 \]
再次使用分部积分法，设u=x，dv=e^(-2λx)dx，则du=dx，v=-1/(2λ)e^(-2λx)。因此，积分变为：
\[ A^2 \left[ \frac{1}{\lambda} \left( -\frac{x}{2\lambda}e^{-2\lambda x} \Big|_0^\infty + \frac{1}{2\lambda} \int_0^\infty e^{-2\lambda x} dx \right) \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ \frac{1}{\lambda} \left( 0 + \frac{1}{2\lambda} \left( -\frac{1}{2\lambda}e^{-2\lambda x} \Big|_0^\infty \right) \right) \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ \frac{1}{\lambda} \left( \frac{1}{2\lambda} \left( \frac{1}{2\lambda} \right) \right) \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ \frac{1}{4\lambda^3} \right] = 1 \]
\[ A^2 = 4\lambda^3 \]
\[ A = 2\lambda^{3/2} \]
步骤 3：求粒子位置的概率分布函数
粒子位置的概率分布函数为波函数的模方，即：
\[ P(x) = |\psi(x)|^2 = (2\lambda^{3/2}xe^{-\lambda x})^2 = 4\lambda^3 x^2 e^{-2\lambda x} \]
步骤 4：求粒子出现概率最大的位置
为了找到粒子出现概率最大的位置，我们需要对概率分布函数求导，并令导数等于0。即：
\[ \frac{dP(x)}{dx} = 0 \]
\[ \frac{d}{dx} (4\lambda^3 x^2 e^{-2\lambda x}) = 0 \]
\[ 4\lambda^3 (2x e^{-2\lambda x} - 2\lambda x^2 e^{-2\lambda x}) = 0 \]
\[ 2x e^{-2\lambda x} - 2\lambda x^2 e^{-2\lambda x} = 0 \]
\[ 2x e^{-2\lambda x} (1 - \lambda x) = 0 \]
\[ x = \frac{1}{\lambda} \]
为了归一化波函数，我们需要找到常数A，使得波函数的模方在整个空间上的积分等于1。即：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1 \]
由于波函数在x<0时为0，我们只需要考虑x>0的部分。因此，归一化条件变为：
\[ \int_{0}^{\infty} |Axe^{-\lambda x}|^2 dx = 1 \]
\[ A^2 \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2\lambda x} dx = 1 \]
步骤 2：计算积分
为了计算上述积分，我们可以使用分部积分法。设u=x^2，dv=e^(-2λx)dx，则du=2xdx，v=-1/(2λ)e^(-2λx)。因此，积分变为：
\[ A^2 \left[ -\frac{x^2}{2\lambda}e^{-2\lambda x} \Big|_0^\infty + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty xe^{-2\lambda x} dx \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ 0 + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty xe^{-2\lambda x} dx \right] = 1 \]
再次使用分部积分法，设u=x，dv=e^(-2λx)dx，则du=dx，v=-1/(2λ)e^(-2λx)。因此，积分变为：
\[ A^2 \left[ \frac{1}{\lambda} \left( -\frac{x}{2\lambda}e^{-2\lambda x} \Big|_0^\infty + \frac{1}{2\lambda} \int_0^\infty e^{-2\lambda x} dx \right) \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ \frac{1}{\lambda} \left( 0 + \frac{1}{2\lambda} \left( -\frac{1}{2\lambda}e^{-2\lambda x} \Big|_0^\infty \right) \right) \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ \frac{1}{\lambda} \left( \frac{1}{2\lambda} \left( \frac{1}{2\lambda} \right) \right) \right] = 1 \]
\[ A^2 \left[ \frac{1}{4\lambda^3} \right] = 1 \]
\[ A^2 = 4\lambda^3 \]
\[ A = 2\lambda^{3/2} \]
步骤 3：求粒子位置的概率分布函数
粒子位置的概率分布函数为波函数的模方，即：
\[ P(x) = |\psi(x)|^2 = (2\lambda^{3/2}xe^{-\lambda x})^2 = 4\lambda^3 x^2 e^{-2\lambda x} \]
步骤 4：求粒子出现概率最大的位置
为了找到粒子出现概率最大的位置，我们需要对概率分布函数求导，并令导数等于0。即：
\[ \frac{dP(x)}{dx} = 0 \]
\[ \frac{d}{dx} (4\lambda^3 x^2 e^{-2\lambda x}) = 0 \]
\[ 4\lambda^3 (2x e^{-2\lambda x} - 2\lambda x^2 e^{-2\lambda x}) = 0 \]
\[ 2x e^{-2\lambda x} - 2\lambda x^2 e^{-2\lambda x} = 0 \]
\[ 2x e^{-2\lambda x} (1 - \lambda x) = 0 \]
\[ x = \frac{1}{\lambda} \]