题目
1. (2.5分) 【判断题】1.若X_(i)sim N(0,1)(i=1,2,dots,n)，则sum_(i=1)^nX_(i)^2sim chi^2(n)。( )A. 对B. 错
1. (2.5分) 【判断题】1.若$X_{i}\sim N(0,1)(i=1,2,\dots,n)$，则$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim \chi^{2}(n)$。( )
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解正态分布和卡方分布
- 标准正态分布 $N(0,1)$ 是一个均值为0，标准差为1的正态分布。
- 卡方分布 $\chi^2(n)$ 是 $n$ 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。也就是说，如果 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是独立的且每个 $X_i \sim N(0,1)$，那么 $\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
步骤 2：题目中的条件
- 题目指出 $X_i \sim N(0,1)$ 对于 $i=1,2,\dots,n$。这意味着每个 $X_i$ 是一个独立的标准正态随机变量。
- 根据卡方分布的定义，$n$ 个独立标准正态随机变量的平方和遵循自由度为 $n$ 的卡方分布。因此，$\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
步骤 3：结论
- 由于题目中给出的条件与卡方分布的定义相匹配，陈述是正确的。
- 标准正态分布 $N(0,1)$ 是一个均值为0，标准差为1的正态分布。
- 卡方分布 $\chi^2(n)$ 是 $n$ 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。也就是说，如果 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是独立的且每个 $X_i \sim N(0,1)$，那么 $\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
步骤 2：题目中的条件
- 题目指出 $X_i \sim N(0,1)$ 对于 $i=1,2,\dots,n$。这意味着每个 $X_i$ 是一个独立的标准正态随机变量。
- 根据卡方分布的定义，$n$ 个独立标准正态随机变量的平方和遵循自由度为 $n$ 的卡方分布。因此，$\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
步骤 3：结论
- 由于题目中给出的条件与卡方分布的定义相匹配，陈述是正确的。