题目

1.计算积分 (int )_(0)^1+i[ (x-y)+i(x)^2] dz, 积分路径(1)自原点至 1+i 的-|||-直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_ec39f02d15dc3a7b9e954f635c05fb57.jpg+i; (3)自原点沿-|||-虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_ec39f02d15dc3a7b9e954f635c05fb57.jpg+i.-|||-y-|||-y↑ y4-|||-1+i l+i i 1+i-|||-l2-|||-C2 l1-|||-0 x 0 →(C1) 1 x 0 x-|||-(1) (2) (3)

题目解答

答案

解析

本题考查复变函数的线积分计算，需沿不同路径计算积分。解题核心在于：

  1. 参数化积分路径，将复积分转化为实积分；
  2. 分段计算：对于分段路径，需分别计算各段积分再相加；
  3. 变量替换：根据路径参数方程，将被积函数中的变量用参数表示。

关键点：正确写出各路径的参数方程，注意积分路径中$dz$的表达式（如沿实轴$dz=dx$，沿虚轴$dz=idy$）。

(1) 直线段路径$z=(1+i)t$（$0 \le t \le 1$）

  1. 参数化：$z = (1+i)t \Rightarrow x = t, y = t$，则$dz = (1+i)dt$；
  2. 代入被积函数：
    $(x-y) + i x^2 = (t-t) + i t^2 = i t^2$
  3. 积分计算：
    $\int_0^1 i t^2 \cdot (1+i) dt = i(1+i) \int_0^1 t^2 dt = i(1+i) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{i}{3}$

(2) 分段路径$C_1$（实轴）+$C_2$（虚轴）

段$C_1$：$y=0$，$dz=dx$

  1. 被积函数：
    $(x-0) + i x^2 = x + i x^2$
  2. 积分：
    $\int_0^1 (x + i x^2) dx = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{i x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{i}{3}$

段$C_2$：$x=1$，$dz=idy$

  1. 被积函数：
    $(1-y) + i \cdot 1^2 = (1-y) + i$
  2. 积分：
    $\int_0^1 [(1-y) + i] \cdot i dy = \int_0^1 [i(1-y) - 1] dy = \frac{i}{2} - 1$
  3. 总积分：
    $\frac{1}{2} + \frac{i}{3} + \frac{i}{2} - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{5i}{6}$

(3) 分段路径$l_1$（虚轴）+$l_2$（水平线）

段$l_1$：$x=0$，$dz=idy$

  1. 被积函数：
    $(0-y) + i \cdot 0^2 = -y$
  2. 积分：
    $\int_0^1 (-y) \cdot i dy = -i \int_0^1 y dy = -\frac{i}{2}$

段$l_2$：$y=1$，$dz=dx$

  1. 被积函数：
    $(x-1) + i x^2$
  2. 积分：
    $\int_0^1 (x-1 + i x^2) dx = \left[\frac{x^2}{2} - x + \frac{i x^3}{3}\right]_0^1 = -\frac{1}{2} + \frac{i}{3}$
  3. 总积分：
    $-\frac{i}{2} - \frac{1}{2} + \frac{i}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{6}$