函数(x)=(x-5)(x)^dfrac (2{3)}的拐点是________.

拐点是函数凹凸性发生改变的点，需通过二阶导数判断。解题核心在于：

1. 求二阶导数，找到可能的拐点候选（二阶导数为零或不存在的点）；
2. 验证凹凸性变化，确定是否为拐点。

关键点：

• 原函数可展开为$x^{5/3} -5x^{2/3}$，简化求导过程；
• 注意$x=0$处二阶导数不存在，需单独分析；
• 通过代入测试点判断二阶导数符号变化。

1. 展开函数

原函数$f(x)=(x-5)x^{\dfrac{2}{3}}$可展开为：
$f(x) = x^{\dfrac{5}{3}} -5x^{\dfrac{2}{3}}$

2. 求一阶导数

对展开式逐项求导：
$f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{\dfrac{2}{3}} - \dfrac{10}{3}x^{-\dfrac{1}{3}}$

3. 求二阶导数

对一阶导数再次求导：
$f''(x) = \dfrac{10}{9}x^{-\dfrac{1}{3}} + \dfrac{10}{9}x^{-\dfrac{4}{3}}$

4. 找二阶导数为零或不存在的点

• 二阶导数不存在：当$x=0$时，分母为零；
• 解方程$f''(x)=0$：
  $\dfrac{10}{9}x^{-\dfrac{1}{3}} + \dfrac{10}{9}x^{-\dfrac{4}{3}} = 0 \implies x^{-\dfrac{1}{3}}(1 + x^{-1}) = 0 \implies x = -1$

5. 验证凹凸性变化

• $x=-1$附近：
  • 当$x < -1$（如$x=-2$），$f''(x) < 0$；
  • 当$x > -1$（如$x=-0.5$），$f''(x) > 0$；
  • 凹凸性由凹变凸，故$x=-1$是拐点。
• $x=0$附近：
  • 左右两侧$f''(x) > 0$，凹凸性不变，故$x=0$不是拐点。

6. 计算拐点坐标

$f(-1) = (-1-5)(-1)^{\dfrac{2}{3}} = (-6)(1) = -6$