题目
设矩阵A= 2 1-|||--1 2,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=_____.
,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=_____.
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵方程变形
给定矩阵方程为 $BA = B + 2E$，其中 $E$ 是2阶单位矩阵。我们首先将方程变形为 $BA - B = 2E$，即 $B(A - E) = 2E$。
步骤 2：计算矩阵 $A - E$
计算矩阵 $A - E$，其中 $E$ 是2阶单位矩阵，即 $E = \left \lbrack \begin{matrix} 1& 0 \cr 0& 1 \end{matrix} \right \rbrack$。因此，$A - E = \left \lbrack \begin{matrix} 2& 1 \cr -1& 2 \end{matrix} \right \rbrack - \left \lbrack \begin{matrix} 1& 0 \cr 0& 1 \end{matrix} \right \rbrack = \left \lbrack \begin{matrix} 1& 1 \cr -1& 1 \end{matrix} \right \rbrack$。
步骤 3：计算矩阵 $A - E$ 的行列式
计算矩阵 $A - E$ 的行列式，即 $|A - E| = \left | \begin{matrix} 1& 1 \cr -1& 1 \end{matrix} \right | = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 2$。
步骤 4：计算矩阵 $B$ 的行列式
由于 $B(A - E) = 2E$，两边同时取行列式，得到 $|B||A - E| = |2E|$。因为 $|2E| = 2^2 = 4$，所以 $|B| \cdot 2 = 4$，从而 $|B| = 2$。
给定矩阵方程为 $BA = B + 2E$，其中 $E$ 是2阶单位矩阵。我们首先将方程变形为 $BA - B = 2E$，即 $B(A - E) = 2E$。
步骤 2：计算矩阵 $A - E$
计算矩阵 $A - E$，其中 $E$ 是2阶单位矩阵，即 $E = \left \lbrack \begin{matrix} 1& 0 \cr 0& 1 \end{matrix} \right \rbrack$。因此，$A - E = \left \lbrack \begin{matrix} 2& 1 \cr -1& 2 \end{matrix} \right \rbrack - \left \lbrack \begin{matrix} 1& 0 \cr 0& 1 \end{matrix} \right \rbrack = \left \lbrack \begin{matrix} 1& 1 \cr -1& 1 \end{matrix} \right \rbrack$。
步骤 3：计算矩阵 $A - E$ 的行列式
计算矩阵 $A - E$ 的行列式，即 $|A - E| = \left | \begin{matrix} 1& 1 \cr -1& 1 \end{matrix} \right | = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 2$。
步骤 4：计算矩阵 $B$ 的行列式
由于 $B(A - E) = 2E$，两边同时取行列式，得到 $|B||A - E| = |2E|$。因为 $|2E| = 2^2 = 4$，所以 $|B| \cdot 2 = 4$，从而 $|B| = 2$。