26.设 (x)=dfrac (ln |x|)(|x-1|)sin x, 求f(x)的间断点并判断其类型.

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断及其类型（可去、跳跃等）。需要结合分母为零、对数函数定义域等条件确定间断点候选，再通过左右极限分析类型。

解题核心思路：

1. 确定间断点候选：分母$|x-1|=0$对应$x=1$，分子$\ln|x|$在$x=0$处无定义。
2. 计算左右极限：
   • x=0：分子$\ln|x|$趋近于$-\infty$，分母趋近于1，但$\sin x$趋近于0，需判断极限是否存在。
   • x=1：分母趋近于0，分子趋近于0，需分左右极限计算，判断是否相等。

破题关键：

• x=0：利用等价无穷小或极限性质，证明左右极限均为0。
• x=1：分左右极限，通过泰勒展开或洛必达法则计算，发现左右极限不相等。

间断点分析

x=0

1. 函数定义：$\ln|x|$在$x=0$处无定义，故$x=0$是间断点。
2. 极限计算：
   • 当$x \to 0$时，$\sin x \approx x$，表达式变为$\dfrac{\ln|x| \cdot x}{|x-1|}$。
   • 分母$|x-1| \to 1$，分子$\ln|x| \cdot x$：
     • $x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，但$x \ln x \to 0$（因$x$趋近于0的速度更快）。
     • $x \to 0^-$时，$\ln|x| \cdot x = (-x) \ln(-x) \to 0$（同理）。
   • 结论：$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$，故$x=0$为可去间断点。

x=1

1. 函数定义：分母$|x-1|=0$，故$x=1$是间断点。
2. 左右极限计算：
   • 右极限（$x \to 1^+$）：
     • $|x-1|=x-1$，分子$\ln x \approx x-1$（泰勒展开）。
     • $f(x) \approx \dfrac{(x-1) \sin 1}{x-1} = \sin 1$，故$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \sin 1$。
   • 左极限（$x \to 1^-$）：
     • $|x-1|=1-x$，分子$\ln x \approx x-1$。
     • $f(x) \approx \dfrac{(x-1) \sin 1}{-(x-1)} = -\sin 1$，故$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -\sin 1$。
   • 结论：左右极限不相等，故$x=1$为跳跃间断点。