7.设x→0时，ln(2+x)/(2+sin x)与x^n为同阶无穷小，则n=_____.

为确定当 $x \to 0$ 时，$\ln \frac{2+x}{2+\sin x}$ 与 $x^n$ 同阶无穷小的 $n$ 值，采用等价无穷小替换法，步骤如下：

1. 表达式变形
   利用对数性质：
   $\ln \frac{2+x}{2+\sin x} = \ln \left(1 + \frac{x - \sin x}{2 + \sin x}\right)$

2. 等价无穷小代换
   当 $x \to 0$ 时，$\frac{x - \sin x}{2 + \sin x} \to 0$，故可使用 $\ln(1+y) \sim y$（当 $y \to 0$）：
   $\ln \left(1 + \frac{x - \sin x}{2 + \sin x}\right) \sim \frac{x - \sin x}{2 + \sin x}$

3. 分子分母分别处理

   • 分子：$x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$（标准泰勒展开）
   • 分母：$2 + \sin x \to 2$

   因此：
   $\frac{x - \sin x}{2 + \sin x} \sim \frac{\frac{x^3}{6}}{2} = \frac{x^3}{12}$

4. 结论
   $\ln \frac{2+x}{2+\sin x} \sim \frac{x^3}{12}$，即与 $x^3$ 同阶无穷小，故 $n = 3$。