题目

箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 1 ， 2 ， 3 个，现从箱中随机的取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数， Y 为取出的白球个数。 ( Ⅰ ) 求随机变量 (X,Y) 的概率分布； ( Ⅱ ) 求 cov(X,Y).

箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 1 ， 2 ， 3 个，现从箱中随机的取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数， Y 为取出的白球个数。

( Ⅰ ) 求随机变量 (X,Y) 的概率分布；

( Ⅱ ) 求 cov(X,Y).

题目解答

答案


(1)

X 的所有可能取值为 0 ， 1 ， Y 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ，

P(X=0,Y=0)=C23C26=15( 取到的都是黑球 ),P(X=0,Y=1)=C12C13C26=25( 取到的球一黑一白 ) ，

P(X=0,Y=2)=C22C26=115( 取到两个白球 ),P(X=1,Y=0)=C13C26=15( 取到一红一黑 ) ，

P(X=1,Y=1)=C12C26=215( 取到一红一白 ),P(X=1,Y=2)=0 ，

从而 ,(X,Y) 的联合分布律为：

Y

X

0 1 2 (⋅,Y)
0 15 25 115 23
1 15 215 0 13
(X,⋅) 25 815 115 1
(2)

由(1)知：

E(XY)=1×1×215=215,E(X)=1×13=13,E(Y)=1×815+2×1

解析

步骤 1：确定随机变量 (X,Y) 的所有可能取值
X 的所有可能取值为 0，1，Y 的所有可能取值为 0，1，2。
步骤 2：计算联合概率分布
- P(X=0,Y=0)：取到的都是黑球，C23/C26 = 1/5
- P(X=0,Y=1)：取到的球一黑一白，C12C13/C26 = 2/5
- P(X=0,Y=2)：取到两个白球，C22/C26 = 1/15
- P(X=1,Y=0)：取到一红一黑，C13/C26 = 1/5
- P(X=1,Y=1)：取到一红一白，C12/C26 = 2/15
- P(X=1,Y=2)：不可能事件，概率为 0
步骤 3：计算边缘概率分布
- P(X=0) = P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) + P(X=0,Y=2) = 1/5 + 2/5 + 1/15 = 2/3
- P(X=1) = P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1) + P(X=1,Y=2) = 1/5 + 2/15 + 0 = 1/3
- P(Y=0) = P(X=0,Y=0) + P(X=1,Y=0) = 1/5 + 1/5 = 2/5
- P(Y=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=1) = 2/5 + 2/15 = 8/15
- P(Y=2) = P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=2) = 1/15 + 0 = 1/15
步骤 4：计算期望值
- E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) = 0 * 2/3 + 1 * 1/3 = 1/3
- E(Y) = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) + 2 * P(Y=2) = 0 * 2/5 + 1 * 8/15 + 2 * 1/15 = 2/3
- E(XY) = 0 * P(X=0,Y=0) + 0 * P(X=0,Y=1) + 0 * P(X=0,Y=2) + 0 * P(X=1,Y=0) + 1 * P(X=1,Y=1) + 0 * P(X=1,Y=2) = 0 + 0 + 0 + 0 + 2/15 + 0 = 2/15
步骤 5：计算协方差
- cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 2/15 - (1/3)(2/3) = 2/15 - 2/9 = 6/45 - 10/45 = -4/45