题目
求下列不定积分:-|||-int dfrac (1+2{x)^2}({x)^2(1+(x)^2)}dx ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为两个部分，以便于积分。我们注意到，分子可以被拆分为两个部分，使得每个部分都可以与分母中的项相匹配。
$$\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})} = \dfrac {1}{{x}^{2}} + \dfrac {1}{1+{x}^{2}}$$
步骤 2：分别积分
对分解后的两个部分分别进行积分。
$$\int \dfrac {1}{{x}^{2}}dx = -\dfrac {1}{x} + C_1$$
$$\int \dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx = \arctan x + C_2$$
步骤 3：合并结果
将两个积分的结果合并，并将常数项合并为一个常数 $C$。
$$\int \dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx = -\dfrac {1}{x} + \arctan x + C$$
将被积函数 $\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为两个部分，以便于积分。我们注意到，分子可以被拆分为两个部分，使得每个部分都可以与分母中的项相匹配。
$$\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})} = \dfrac {1}{{x}^{2}} + \dfrac {1}{1+{x}^{2}}$$
步骤 2：分别积分
对分解后的两个部分分别进行积分。
$$\int \dfrac {1}{{x}^{2}}dx = -\dfrac {1}{x} + C_1$$
$$\int \dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx = \arctan x + C_2$$
步骤 3：合并结果
将两个积分的结果合并，并将常数项合并为一个常数 $C$。
$$\int \dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx = -\dfrac {1}{x} + \arctan x + C$$