求下列不定积分:-|||-int dfrac (1+2{x)^2}({x)^2(1+(x)^2)}dx ;

考查要点：本题主要考查分式分解法在不定积分中的应用，以及基本积分公式的运用。

解题核心思路：
将被积函数拆分为简单分式的和，利用分式分解法简化积分。关键在于将分子拆解为与分母相关项的组合，从而转化为已知积分形式。

破题关键点：

1. 观察分子与分母的结构，尝试将分子表示为分母各因子的线性组合。
2. 拆分分式后，分别对简单分式进行积分，利用基本积分公式（如$\int \frac{1}{x^2}dx$和$\int \frac{1}{1+x^2}dx$）。

步骤1：分式分解
将被积函数$\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}$拆分为两个简单分式的和：
$\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2}$

步骤2：分别积分
对拆分后的两个分式分别积分：

1. 第一项积分：
   $\int \frac{1}{x^2}dx = \int x^{-2}dx = -x^{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1$
2. 第二项积分：
   $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C_2$

步骤3：合并结果
将两部分的积分结果合并，并合并常数项：
$\int \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}dx = -\frac{1}{x} + \arctan x + C$

注意：题目给出的答案中$\arccos x$应为$\arctan x$，可能存在笔误。