函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 7 的极小值为( )。A. 0B. 1C. 3D. 2

本题考查利用导数求函数的极小值，核心思路是通过求导导找到函数的极值点，再判断极值点的性质（（极小值或极大值），最后计算极小值。

**步骤1：求函数的一阶导数

函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7$，对其求导得：
$f'(x) = 3x^2 - 6x$

步骤2：找导数的零点（可能的）极值点

令 $f'(x) = 0$，解方程：
$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = 2$

步骤3：判断极值点的性质（二阶导数法）

求二阶导数：
$f''(x) = 6x - 6$

• 当 $x = 0$ 时，$f''(0) = 6 \times 0 -6 = -6 < 0$，故 $x=0$ 是极大值点；
• 当 $x=2$ 时，$f''(2) =6 \times 2 -6 =6 >0$，故 $x=2$ 是极小值点。

步骤4：计算极小值

将 $x=2$ 代入原函数：
$f(2) = 2^3 -3 \times 2^2 +7 =8 -12 +7 =3$