29.已知二次型 =2({x)_(1)}^2+3({x)_(2)}^2+3({x)_(3)}^2+2a(x)_(2)(x)_(3)(agt 0) 经正交变换 x=Py 化为-|||-标准形 =({y)_(1)}^2+2({y)_(2)}^2+5({y)_(3)}^2, 求a的值及所用的正交矩阵P.

考查要点：本题主要考查二次型的正交变换化标准形，涉及矩阵的特征值、特征向量的正交化与单位化，以及正交矩阵的构造。

解题核心思路：

1. 二次型矩阵的构造：根据二次型表达式写出对应的对称矩阵。
2. 特征值与标准形的关系：正交变换下的标准形系数即为原矩阵的特征值。
3. 特征方程求解：通过行列式求特征值，结合已知标准形确定参数$a$。
4. 特征向量的正交化与单位化：求出各特征值对应的特征向量，施密特正交化后单位化，构造正交矩阵$P$。

破题关键点：

• 特征值的确定：标准形中的系数$1,2,5$对应原矩阵的特征值。
• 参数$a$的求解：通过特征方程中$\lambda=1$代入，解方程得到$a=2$。
• 特征向量的正交性：对称矩阵不同特征值的特征向量自然正交，简化正交化步骤。

二次型矩阵与特征方程

二次型$f$的矩阵为：
$A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & a \\0 & a & 3\end{bmatrix}$
其特征方程为：
$|A - \lambda E| = (2-\lambda)\left[(3-\lambda)^2 - a^2\right] = 0$
解得特征值$\lambda = 2, 3+a, 3-a$。

确定参数$a$

已知标准形的特征值为$1,2,5$，故：
$\begin{cases}3 + a = 5 \\3 - a = 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad a = 2$

求特征向量与正交矩阵$P$

1. $\lambda_1 = 1$
   解$(A - E)\mathbf{x} = 0$，得基础解系$\xi_1 = (0, 1, -1)^T$，单位化为：
   $p_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

2. $\lambda_2 = 2$
   解$(A - 2E)\mathbf{x} = 0$，得基础解系$\xi_2 = (1, 0, 0)^T$，已单位化。

3. $\lambda_3 = 5$
   解$(A - 5E)\mathbf{x} = 0$，得基础解系$\xi_3 = (0, 1, 1)^T$，单位化为：
   $p_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

构造正交矩阵$P$

将$p_1, p_2, p_3$按列排列，得：
$P = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$