题目
如图所示 长L 的轻绳一端系一个 质量 m 的小球另一端系在 定点 O ，t = 0 时小球位于最低点且具有水平速度 On ( 假设On足够使小球在竖直平面内完成完整的圆周运动 ) 请解答下列问题： ( 1 ) 求小球在任意位置 0 时 的切向加速度大小？ ( 2 ) 求小球在任意位置 0 时 绳的张力?On
如图所示 长L 的轻绳一端系一个 质量 m 的小球另一端系在 定点 O ，t = 0 时小球位于最低点且具有水平速度
( 假设足够使小球在竖直平面内完成完整的圆周运动 ) 请解答下列问题：
( 1 ) 求小球在任意位置 0 时 的切向加速度大小？
( 2 ) 求小球在任意位置 0 时 绳的张力?
题目解答
答案
如图所示当小球在位置o时，设小球与圆心连线与竖直方向的夹角为
。
小球在切向方向只受到重力分力的一个力的作用，所以在切向方向的加速度，根据向心力公式：
小球从最低点到任意位置的过程中机械能守恒如图所示
得
由牛顿第二定律：
解析
步骤 1：确定小球在任意位置时的切向加速度
小球在任意位置时，受到重力的作用，重力在切向方向的分量为 $mg\sin\theta$，其中 $\theta$ 是小球与竖直方向的夹角。根据牛顿第二定律，切向加速度 $a_t$ 为：
$$a_t = \frac{F_t}{m} = \frac{mg\sin\theta}{m} = g\sin\theta$$
步骤 2：确定小球在任意位置时的绳的张力
小球在任意位置时，受到重力和绳的张力的作用。重力在径向方向的分量为 $mg\cos\theta$，绳的张力 $F_T$ 与重力的径向分量共同提供向心力。根据向心力公式，有：
$$F_T - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{L}$$
其中 $v$ 是小球在任意位置时的速度。根据机械能守恒定律，小球从最低点到任意位置的过程中，动能和势能的总和保持不变。设小球在最低点时的速度为 $v_0$，则有：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL(1 - \cos\theta)$$
解得：
$$v^2 = v_0^2 - 2gL(1 - \cos\theta)$$
将 $v^2$ 代入向心力公式，得：
$$F_T = \frac{m(v_0^2 - 2gL(1 - \cos\theta))}{L} + mg\cos\theta$$
$$F_T = \frac{mv_0^2}{L} - 2mg(1 - \cos\theta) + mg\cos\theta$$
$$F_T = \frac{mv_0^2}{L} - 2mg + 3mg\cos\theta$$
小球在任意位置时，受到重力的作用，重力在切向方向的分量为 $mg\sin\theta$，其中 $\theta$ 是小球与竖直方向的夹角。根据牛顿第二定律，切向加速度 $a_t$ 为：
$$a_t = \frac{F_t}{m} = \frac{mg\sin\theta}{m} = g\sin\theta$$
步骤 2：确定小球在任意位置时的绳的张力
小球在任意位置时，受到重力和绳的张力的作用。重力在径向方向的分量为 $mg\cos\theta$，绳的张力 $F_T$ 与重力的径向分量共同提供向心力。根据向心力公式，有：
$$F_T - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{L}$$
其中 $v$ 是小球在任意位置时的速度。根据机械能守恒定律，小球从最低点到任意位置的过程中，动能和势能的总和保持不变。设小球在最低点时的速度为 $v_0$，则有：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL(1 - \cos\theta)$$
解得：
$$v^2 = v_0^2 - 2gL(1 - \cos\theta)$$
将 $v^2$ 代入向心力公式，得：
$$F_T = \frac{m(v_0^2 - 2gL(1 - \cos\theta))}{L} + mg\cos\theta$$
$$F_T = \frac{mv_0^2}{L} - 2mg(1 - \cos\theta) + mg\cos\theta$$
$$F_T = \frac{mv_0^2}{L} - 2mg + 3mg\cos\theta$$