题目
用绝缘细线弯成的半圆环,半径为R,其上均匀地带有正电荷Q,试求圆心O点的电场强度.
用绝缘细线弯成的半圆环,半径为R,其上均匀地带有正电荷Q,试求圆心O点的电场强度.
题目解答
答案
解:
选取圆心O为原点,如图建立坐标系.在环上任意取一小段圆弧dl=Rd,其上电荷
dq=(Qdl) / (R)=(Qd) / ,它在O点产生的场强为
在*、y轴方向的两个分量为:
, 
对两个分量分别积分
由此得
〔
为*轴正向的单位矢量〕
解析
步骤 1：建立坐标系和选取微元
选取圆心O为原点，建立坐标系。在半圆环上任意选取一小段圆弧dl=Rdθ，其上电荷dq=(Qdl)/(πR)=(Qdθ)/(π)。它在O点产生的场强为dE=k(dq)/(R^2)，其中k为静电力常量。
步骤 2：计算场强分量
在x、y轴方向的两个分量为：
${E}_{x}=dE\cos \theta =\dfrac {Q}{4{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta $,
${E}_{y}=dE\sin \theta =\dfrac {Q}{4{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\sin \theta d\theta $,
其中${\varepsilon }_{0}$为真空介电常数。
步骤 3：积分求解总场强
对两个分量分别积分，由于对称性，y方向的分量相互抵消，只考虑x方向的分量：
${E}_{x}=\int_{0}^{\pi }dE\cos \theta =\int_{0}^{\pi }\dfrac {Q}{4{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta =\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$,
因此，圆心O点的电场强度为$\overrightarrow {E}={E}_{x}\overrightarrow {i}=\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\overrightarrow {i}$，其中$\overrightarrow {i}$为x轴正向的单位矢量。
选取圆心O为原点，建立坐标系。在半圆环上任意选取一小段圆弧dl=Rdθ，其上电荷dq=(Qdl)/(πR)=(Qdθ)/(π)。它在O点产生的场强为dE=k(dq)/(R^2)，其中k为静电力常量。
步骤 2：计算场强分量
在x、y轴方向的两个分量为：
${E}_{x}=dE\cos \theta =\dfrac {Q}{4{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta $,
${E}_{y}=dE\sin \theta =\dfrac {Q}{4{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\sin \theta d\theta $,
其中${\varepsilon }_{0}$为真空介电常数。
步骤 3：积分求解总场强
对两个分量分别积分，由于对称性，y方向的分量相互抵消，只考虑x方向的分量：
${E}_{x}=\int_{0}^{\pi }dE\cos \theta =\int_{0}^{\pi }\dfrac {Q}{4{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta =\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$,
因此，圆心O点的电场强度为$\overrightarrow {E}={E}_{x}\overrightarrow {i}=\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\overrightarrow {i}$，其中$\overrightarrow {i}$为x轴正向的单位矢量。