(37) int dfrac (dx)(xsqrt {{x)^2-1}}

步骤 1：理解问题
题目要求我们解决一个积分问题，即求解 $\int \dfrac {dx}{x\sqrt {{x}^{2}-1}}$。根据题目给出的条件，我们需要分别考虑 $x > 1$ 和 $x < -1$ 的情况。

步骤 2：求解 $x > 1$ 的情况
当 $x > 1$ 时，我们可以通过换元法来求解积分。设 $t = \dfrac{1}{x}$，则 $dt = -\dfrac{1}{x^2}dx$。代入原积分，我们得到：
$$\int \dfrac {dx}{x\sqrt {{x}^{2}-1}} = \int \dfrac {-\dfrac{1}{x^2}dx}{\sqrt {{x}^{2}-1}} = \int \dfrac {dt}{\sqrt {1-t^2}}$$
这个积分是标准形式，其结果为 $-\arcsin t + C$。将 $t = \dfrac{1}{x}$ 代回，我们得到：
$$\int \dfrac {dx}{x\sqrt {{x}^{2}-1}} = -\arcsin \dfrac{1}{x} + C$$

步骤 3：求解 $x < -1$ 的情况
当 $x < -1$ 时，我们同样使用换元法。设 $t = \dfrac{1}{x}$，则 $dt = -\dfrac{1}{x^2}dx$。代入原积分，我们得到：
$$\int \dfrac {dx}{x\sqrt {{x}^{2}-1}} = \int \dfrac {-\dfrac{1}{x^2}dx}{\sqrt {{x}^{2}-1}} = \int \dfrac {dt}{\sqrt {1-t^2}}$$
这个积分同样是标准形式，其结果为 $-\arcsin t + C$。将 $t = \dfrac{1}{x}$ 代回，我们得到：
$$\int \dfrac {dx}{x\sqrt {{x}^{2}-1}} = -\arcsin \dfrac{1}{x} + C$$
由于 $x < -1$，我们有 $|x| = -x$，因此可以写成：
$$\int \dfrac {dx}{x\sqrt {{x}^{2}-1}} = -\arcsin \dfrac{1}{|x|} + C$$