4.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2} =-|||-(1) ^2(x)^2+(a)^2(y)^2=(a)^2(b)^2 ;-|||-(2) =tan (x+y) ;-|||-(3) =1+x(e)^y ;-|||-(4) -2x=(x-y)ln (x-y) -

隐函数求导的核心思路是通过方程两边对$x$求导，利用链式法则处理$y$的导数，再解方程得到$y'$和$y''$。不同方程形式需灵活应用求导规则：

1. 椭圆方程：直接对$x$求导，整理表达式；
2. 三角函数方程：利用三角函数导数公式，注意分母符号处理；
3. 指数方程：处理乘积项和指数项的导数；
4. 对数方程：结合乘积法则和对数导数，注意代数变形。

第（1）题：${b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}$

求一阶导数$y'$

对$x$求导：
$2b^2x + 2a^2y \cdot y' = 0 \implies y' = -\frac{b^2x}{a^2y}$

求二阶导数$y''$

对$y'$再次求导：
$y'' = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{y - xy'}{y^2}$
将$y' = -\frac{b^2x}{a^2y}$代入：
$y'' = -\frac{b^4}{a^2y^3}$

第（2）题：$y = \tan(x + y)$

求一阶导数$y'$

对$x$求导：
$y' = \sec^2(x+y) \cdot (1 + y') \implies y' = \frac{\sec^2(x+y)}{-\sec^2(x+y) + 1}$
利用$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + y^2$，化简得：
$y' = -\frac{1 + y^2}{y^2}$

求二阶导数$y''$

对$y'$求导并整理：
$y'' = \frac{2(1 + y^2)}{y^3}$

第（3）题：$y = 1 + x{e}^{y}$

求一阶导数$y'$

对$x$求导：
$y' = e^y + x e^y \cdot y' \implies y' = \frac{e^y}{1 - x e^y}$

求二阶导数$y''$

对$y'$求导并整理：
$y'' = \frac{e^y(1 - x e^y) + e^y(x e^y)}{(1 - x e^y)^2} = \frac{e^y}{(1 - x e^y)^2}$

第（4）题：$y - 2x = (x - y)\ln(x - y)$

求一阶导数$y'$

对$x$求导并整理：
$y' = \frac{\ln(x - y) + 3}{\ln(x - y) + 2}$

求二阶导数$y''$

对$y'$求导并代入原方程：
$y'' = \frac{1}{(\ln(x - y) + 2)^3(x - y)}$