题目
设 A, B 为 n 阶实对称可逆矩阵，则存在 n 阶可逆矩阵 P，使得下列关系式 ① PA = B， ② P^-1ABP = BA， ③ P^-1AP = B， ④ P^TA^2P = B^2 成立的个数为() A. 1B. 2C. 3D. 4
设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称可逆矩阵，则存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得下列关系式
① $PA = B$，
② $P^{-1}ABP = BA$，
③ $P^{-1}AP = B$，
④ $P^TA^2P = B^2$
成立的个数为()
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
题目解答
答案
**答案：C**
**解析：**
1. **选项①：$PA = B$**
取 $P = BA^{-1}$，则 $PA = B$，成立。
2. **选项②：$P^{-1}ABP = BA$**
两边左乘 $P$ 得 $ABP = PBA$，即 $AB$ 与 $BA$ 相似，成立。
3. **选项③：$P^{-1}AP = B$**
需 $A$ 与 $B$ 相似，但特征值可能不同，不恒成立。
4. **选项④：$P^T A^2 P = B^2$**
利用正交相似对角化，可构造 $P$ 使等式成立，成立。
**成立个数：3**
答案：$\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、矩阵相似与合同的关系，以及可逆矩阵的作用。
解题核心思路：
- 实对称矩阵的性质：实对称矩阵可正交对角化，且合同于对角矩阵。
- 矩阵方程的解：通过构造可逆矩阵验证方程的解是否存在。
- 相似与合同的判定：利用相似矩阵的特征值性质，以及合同矩阵的惯性指数判定。
破题关键点：
- 选项①：直接构造可逆矩阵$P = BA^{-1}$验证。
- 选项②：通过矩阵相似性证明$AB$与$BA$的关系。
- 选项③：实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同，但题目未限定。
- 选项④：利用实对称矩阵的平方可合同对角化构造$P$。
选项①：$PA = B$
- 构造矩阵：取$P = BA^{-1}$，则$PA = BA^{-1}A = B$，显然成立。
选项②：$P^{-1}ABP = BA$
- 相似性证明：等式两边左乘$P$得$ABP = PBA$，即$AB$与$BA$相似。
- 关键结论：对于可逆矩阵$A,B$，$AB$与$BA$特征值相同且非零，故相似。
选项③：$P^{-1}AP = B$
- 相似性判定：实对称矩阵相似当且仅当特征值相同。
- 反例：若$A,B$特征值不同，则不存在这样的$P$，故不一定成立。
选项④：$P^TA^2P = B^2$
- 合同对角化：$A^2,B^2$为实对称可逆矩阵，可正交对角化为对角矩阵。
- 构造$P$：存在可逆矩阵$P$使$P^TA^2P$与$B^2$均为同一对角矩阵，故成立。