题目
2.12 图 2-21 中的A为轻质定滑轮,B为轻质动滑轮.质量分别为 _(1)=0.20kg, _(2)=0.10kg,-|||-_(3)=0.05kg 的三个物体悬挂于绳端.设绳与滑轮间的摩擦力忽略不计,求各物体的加速度及绳-|||-中的张力.
题目解答
答案
解析
步骤 1：受力分析
首先，对三个物体和动滑轮B进行受力分析。设绳子的张力分别为$F_1$和$F_2$，其中$F_1$是作用在$m_1$和$m_2$上的张力，$F_2$是作用在$m_3$上的张力。由于动滑轮B是轻质的，所以$F_2 = \frac{F_1}{2}$。
步骤 2：牛顿第二定律
应用牛顿第二定律，对每个物体列出动力学方程。
- 对$m_1$：$m_1g - F_1 = m_1a_1$
- 对$m_2$：$F_1 - m_2g = m_2a_2$
- 对$m_3$：$F_2 - m_3g = m_3a_3$
- 对动滑轮B：$F_1 - 2F_2 = 0$（因为动滑轮B是轻质的，所以它的加速度为0）
步骤 3：相对运动
由于$m_2$和$m_3$相对于动滑轮B的加速度为$a$，所以有$a_2 = a_3 = a$。同时，由于$m_1$相对于地面的加速度为$a_1$，所以有$a_1 = 2a$。
步骤 4：联立方程
将$a_1 = 2a$代入动力学方程中，联立求解。
- $m_1g - F_1 = m_1(2a)$
- $F_1 - m_2g = m_2a$
- $F_2 - m_3g = m_3a$
- $F_1 - 2F_2 = 0$
步骤 5：求解
将$F_2 = \frac{F_1}{2}$代入第三个方程，得到$F_1 = 2m_3g + 2m_3a$。将$F_1$代入第二个方程，得到$2m_3g + 2m_3a - m_2g = m_2a$。将$a_1 = 2a$代入第一个方程，得到$m_1g - F_1 = 2m_1a$。联立求解，得到$a = \frac{m_1g - m_2g - 2m_3g}{2m_1 + m_2 + 2m_3}$，$F_1 = m_1g - 2m_1a$，$F_2 = \frac{F_1}{2}$。
首先，对三个物体和动滑轮B进行受力分析。设绳子的张力分别为$F_1$和$F_2$，其中$F_1$是作用在$m_1$和$m_2$上的张力，$F_2$是作用在$m_3$上的张力。由于动滑轮B是轻质的，所以$F_2 = \frac{F_1}{2}$。
步骤 2：牛顿第二定律
应用牛顿第二定律，对每个物体列出动力学方程。
- 对$m_1$：$m_1g - F_1 = m_1a_1$
- 对$m_2$：$F_1 - m_2g = m_2a_2$
- 对$m_3$：$F_2 - m_3g = m_3a_3$
- 对动滑轮B：$F_1 - 2F_2 = 0$（因为动滑轮B是轻质的，所以它的加速度为0）
步骤 3：相对运动
由于$m_2$和$m_3$相对于动滑轮B的加速度为$a$，所以有$a_2 = a_3 = a$。同时，由于$m_1$相对于地面的加速度为$a_1$，所以有$a_1 = 2a$。
步骤 4：联立方程
将$a_1 = 2a$代入动力学方程中，联立求解。
- $m_1g - F_1 = m_1(2a)$
- $F_1 - m_2g = m_2a$
- $F_2 - m_3g = m_3a$
- $F_1 - 2F_2 = 0$
步骤 5：求解
将$F_2 = \frac{F_1}{2}$代入第三个方程，得到$F_1 = 2m_3g + 2m_3a$。将$F_1$代入第二个方程，得到$2m_3g + 2m_3a - m_2g = m_2a$。将$a_1 = 2a$代入第一个方程，得到$m_1g - F_1 = 2m_1a$。联立求解，得到$a = \frac{m_1g - m_2g - 2m_3g}{2m_1 + m_2 + 2m_3}$，$F_1 = m_1g - 2m_1a$，$F_2 = \frac{F_1}{2}$。