题目

6.【判断题】若A为n阶非单位矩阵，且A^2=A,则A一定可逆。答案：错知识点：逆矩阵

6.【判断题】若A为n阶非单位矩阵，且$A^{2}=A$,则A一定可逆。 答案：错 知识点：逆矩阵

题目解答

答案

假设 $ A $ 可逆，即存在 $ A^{-1} $ 使得 $ A A^{-1} = I $。由条件 $ A^2 = A $，可得： \[ A(A - I) = 0 \] 两边右乘 $ A^{-1} $： \[ A(A - I)A^{-1} = 0 \] \[ A(I - A^{-1}) = 0 \] 由于 $ A $ 可逆，$ A \neq 0 $，故 $ I - A^{-1} = 0 $，即 $ A^{-1} = I $，从而 $ A = I $。但题目明确 $ A $ 非单位矩阵，矛盾。 另如具体例子： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] 满足 $ A^2 = A $，但 $ A $ 不可逆（行列式为0）。 **答案：错**

解析

本题考查逆矩阵的定义和性质，解题思路是通过反证法来判断矩阵$A$是否可逆，同时也可以通过举反例的方式进行验证。

  1. 反证法证明：
    • 假设$A$可逆，根据逆矩阵的定义，存在$A^{-1}$使得$AA^{-1} = I$（$I$为$n$阶单位矩阵）。
    • 已知$A^{2}=A$，移项可得$A^{2}-A = 0$，提取公因式$A$，得到$A(A - I) = 0$。
    • 在等式$A(A - I) = 0$两边同时右乘$A^{-1}$，根据矩阵乘法的结合律可得：
      $\begin{align*}A(A - I)A^{-1}&= 0\times A^{-1}\\A(A - I)A^{-1}&= 0\\A(AA^{-1}-IA^{-1})&= 0\\A(I - A^{-1})&= 0\end{align*}$
    • 因为$A$可逆，所以$A\neq 0$，要使$A(I - A^{-1}) = 0$成立，则$I - A^{-1} = 0$，即$A^{-1} = I$。
    • 两边同时左乘$A$，可得$AA^{-1} = AI$，即$I = A$，这与题目中$A$为非单位矩阵矛盾，所以假设不成立，$A$不可逆。
  2. 举反例验证：
    • 考虑矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，计算$A^{2}$：
      $A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times1 + 0\times0 & 1\times0 + 0\times0 \\ 0\times1 + 0\times0 & 0\times0 + 0\times0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=A$
    • 计算矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$：
      $\vert A\vert = 1\times0 - 0\times0 = 0$
    • 根据可逆矩阵的判定定理，若矩阵的行列式为$0$，则该矩阵不可逆，所以矩阵$A$不可逆。